前言
只做自己笔记,日后查询之用。
二维随机变量
一维概率密度函数定义
F(x)=∫−∞xf(t)dt
分布函数与概率密度函数
F(x,y)=P{(X⩽x)∩(Y⩽y)}=P{X⩽x,Y⩽y}
F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv
边缘分布
FX(x)=P{X⩽x}=P{X⩽x,Y<∞}=F(x,∞)
即
FX(x)=F(x,∞)=∫−∞x[∫−∞∞f(x,y)dy]dx
边缘密度函数:
fX(x)=dxdFX(x)=[∫−∞∞f(x,y)dy]x=−∞x=∫−∞∞f(x,y)dy
即对 x=x 这一点上, 所有 y 作积分。同理:
fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx
条件分布
- 离散条件概率:
P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}
- 连续条件概率密度:
由于在一个点上, 概率密度为0, 因此, 取一个 ε的范围:
P{X⩽x∣y<Y⩽y+ε}=P{y<Y⩽y+ε}P{X⩽x,y<Y⩽y+ε}=∫yy+εfY(y)dy∫−∞x[∫yy+εf(x,y)dy]dx
当 ε 很小时:
分子分母都趋于0, 由洛必达法则:
x→climg(x)f(x)=x→climg′(x)f′(x)
有:
∫yy+εfY(y)dy∫−∞x[∫yy+εf(x,y)dy]dx=∫yy+εfY(y)dy[∫yy+εf(x,y)dy]x=x−[∫yy+εf(x,y)dy]x=−∞=∫yy+εfY(y)dyεf(x,y)dy−0=≈εfY(y)ε∫−∞xf(x,y)dx=∫−∞xfY(y)f(x,y)dx
即:
fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
这个和贝叶斯公式是非常像的。
相互独立
显然,顾名思义, 相互独立就是:
P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}P{Y⩽y}
用概率分布函数表示:
F(x,y)=FX(x)FY(y)
对两边都对x与y求导:
f(x,y)=fX(x)fY(y)
函数分布
Z=X+Y 的概率密度为:
fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dyfX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx
若x, y独立:
fX+Y(z)=fX∗fY=∫−∞∞fx(z−y)fY(y)dy
推广到正态分布 有以下性质:
若 Z=X1+X2+⋯+Xn, 则 Z=X1+X2+⋯+Xn满足:
Z∼N(μ1+μ2+⋯+μn,σ12+σ22+⋯+σn2)