計算機網絡-信道的極限容量

1 前言

• 任何實際的信道都不是理想的，在傳輸信號時會產生各種失真以及帶來多種干擾
• 碼元傳輸的速率越高，或信號傳輸的距離越遠，或傳輸媒體質量越差，在信道的輸出端的波形的失真就越嚴重
  

從概念上講，限制碼元在信道上的傳輸速率的因素有以下兩個：

1. 信道能夠通過的頻率範圍
2. 信噪比

2 信道能夠通過的頻率範圍

• 具體的信道所能通過的頻率範圍總是有限的。信號中的許多高頻分量往往不能通過信道
• 1924 年，奈奎斯特 (Nyquist) 就推導出了著名的奈氏準則。他給出了在假定的理想條件下，爲了避免碼間串擾，碼元的傳輸速率的上限值
• 在任何信道中，碼元傳輸的速率是有上限的，否則就會出現碼間串擾的問題，使接收端對碼元的判決（即識別）成爲不可能
• 如果信道的頻帶越寬，也就是能夠通過的信號高頻分量越多，那麼就可以用更高的速率傳送碼元而不出現碼間串擾

2.1 奈氏 (Nyquist) 準則

理想低通信道的最高碼元傳輸速率$=2 W Baud$，$W$ 是理想低通信道的帶寬，單位爲赫茲（Hz），如下圖，發送信號是一種典型的巨型脈衝信號，信號中的高頻分量，在傳輸時受到衰減，接收端收到的波形的前沿和後沿就變得不那麼陡峭，這樣每個碼元所佔的時間界限就沒有那麼明確了，如此一來，接收端收到的信號波形就失去了碼元間的清晰界限，這種現象叫做碼間串擾。

所以在1924年，奈奎斯特 (Nyquist) 推導出著名的奈氏準則，他給出了在假定的理想條件下，爲了避免碼間串擾，碼元的傳輸速率的上限值

• 每赫茲帶寬的理想低通信道的最高碼元傳輸速率是每秒2個碼元
• Baud是波特，是碼元傳輸速率的單位，1波特爲每秒傳送1個碼元

注意：

1. 實際的信道所能傳輸的最高碼元速率，要明顯地低於奈氏準則給出上限數值
2. 波特（Baud）和比特（bit）是兩個不同的概念。波特是碼元傳輸的速率單位（每秒傳多少個碼元）。碼元傳輸速率也稱爲調製速率、波形速率或符號速率。比特是信息量的單位。
3. 信息的傳輸速率“比特/秒”與碼元的傳輸速率“波特”在數量上有一定的關係
4. 若1個碼元只攜帶1bit的信息量，則“比特/秒”和“波特”在數值上相等
5. 若1個碼元攜帶nbit的信息量，則 M Baud的碼元傳輸速率所對應的信息傳輸速率爲M×nb/s

碼元的傳輸速率受奈氏準則的制約，所以要提高信息的傳輸速率，就必須設法使每個碼元能攜帶更多個比特的信息量。這就需要採用多元制的調製方法，如正交振幅調製 QAM (Quadrature Amplitude Modulation)。

3 信噪比

• 噪聲存在於所有的電子設備和通信信道中，噪聲是隨機產生的，它的瞬時值有時會很大。因此噪聲會使接收端對碼元的判決產生錯誤
• 但噪聲的影響是相對的。如果信號相對較強，那麼噪聲的影響就相對較小
• 信噪比就是信號的平均功率和噪聲的平均功率之比。常記爲$S/N$，並用分貝 (dB) 作爲度量單位。即：$信噪比(dB)=10log_{10}(S/N ) (dB)$，例如，當S/N=10時，信噪比爲10dB，而當S/N=1000時，信噪比爲30dB

3.1 香農 (Shannon) 公式

1984年，香農 (Shannon) 用信息論的理論推導出了帶寬受限且有高斯白噪聲干擾的信道的極限、無差錯的信息傳輸速率（香農公式）

• 信道的極限信息傳輸速率 C 可表達爲：$C = W log_2(1+S/N)(bit/s)$
• W 爲信道的帶寬（以 Hz 爲單位）
• S 爲信道內所傳信號的平均功率
• N 爲信道內部的高斯噪聲功率

香農公式表明：

1. 影響信道的極限信息傳輸速率的因素有信道的帶寬和信噪比，並且信道的帶寬或信道中的信噪比越大，則信息的極限傳輸速率就越高
2. 只要信息傳輸速率低於信道的極限信息傳輸速率，就一定可以找到某種辦法來實現無差錯的傳輸
3. 若信道帶寬 W 或信噪比 S/N 沒有上限（當然實際信道不可能是這樣的），則信道的極限信息傳輸速率 C 也就沒有上限
4. 實際信道上能夠達到的信息傳輸速率要比香農的極限傳輸速率低不少