题目
0,1,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
来源：力扣（LeetCode）
前不久在LeetCode上刷到一个比较有意思的题，一开始准备用数组暴力破解，在思索良久之后放弃了自己天真的想法。网上找了许多方法之后才弄懂了其中的原理，总结为以下两种方法：顺推法与递归法。
这两种方法看似只是相反的过程，但其中的原理确实不太相同。不过不管黑猫白猫，逮到耗子的就是好猫。
让我们来分析一下题意：
如下表，在这几个数之中每次找到第三个数字然后去掉，直到最后一个数字留下来为止。（注意：每次数三个数字不是又从数字0开始，而是从上一次去掉的数字后面开始）
可以很直观的看出第三个数字一个一个被去掉，直到最后剩下两个角逐，花落谁家？答案当然是3。
顺推法：顾名思义，其实就是类似于暴力破解，顺着思路一步一步做下去。
我们可以借助ArrayList动态数组实现数字的增加与删除，在此之前我们所知道的参数也就是n个数字，以及每次要去掉的第m个数字，之后进行的就是初始化数组，然后再一个一个减去就好了。
这里的问题在于怎么求出你要去掉的数字，第一次我们减的是2号（这里是数字2），第二次就要减4号（因为不够减呀，轮回去就是数字1），轮回去这里就是一个重要的结点，试分析一手。
第一次我们要去掉的数字下标可以用m-1表示（例子里是2号），
第二次我们要去掉的数字下标打算用(m-1)+m-1表示（例子里应该是4号），结果和我们肉眼看出来的不符，因为已经超过数组长度了，怎么解决呢？
此时我们引入一个求余算法，可以回到数组开头。（业内术语都叫求模）
我查了查对于正数，这两个概念似乎没什么不同，我们暂且这样俗气的叫。
余数嘛，
如果被除数小于除数，那么商为0（很简单的样子），直接把被除数拿到余数里面就好了；
如果被除数大于除数，那么商为一个整数，余数也就可以看作是从零开始数的标号。
这里就很符合我们开始的思维逻辑了吧。
因此，每次只需要对要求数组长度求余就好了，
这样我们的第一次要去掉的数字的标号可以求出来(3-1)%5=2，
那第二次呢，(2+3-1)%4=0，
第三次，(0+3-1)%3=2，
第四次，(2+3-1)%2=0，
第五次不用说，数组只剩一个元素，下标确实为0。
java代码如下：
public int Circle1( int n,int m ) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
for( int i = 0;i < n; i++ ) //数组初始化
list.add(i);
int x = 0; //记录每次去掉数字的下标
while( n != 1 ) {
x = ( x + m - 1 )%n;
list.remove(x);
n--; //数组长度减一
}
int result = list.get(0); //最后赢家只有一个，所以下标为0
return result;
}既然我们顺着推已经思路明确，虽然有点复杂但终究还是求出来了，那么有简单一点的思路吗？请继续往下看。
递归法：可以用数学方法推导出来，重要的是我们知道一个隐含的关键条件：最后一个数字其下标为0。
所谓递归，
就是我们去掉n个数字时的标号m-1，
接下来我们要继续求n-1个数字的情况，
然后是n-2个数字的情况…
以此类推，
直到剩下1个数字。
如图：
假设我们已知一个函数 f(1)=0，意思就是最后一次仅剩的数字其标号为0；
那么上一个轮回（倒数第二次）它的标号呢？ f(2)，
没错，直到最开始n个数字，那么最终赢家的标号为 f(n)，答案不就出来了吗 。
那么问题来了，我们怎么求出 f(2) 甚至是 f(n)呢？
观察下图（蓝色为标号，绿色为轮回去补上的数字，红色为我们要求的数字）
最后一次数字3的标号为 f(1)=0；
两个数时，细心的你会发现，上一次标号f(1)往后数m个数字会是f(2)，
（这里主要是去掉的数字后其后面的数字要进入下一步的话，就需要标号全部往前移动m）
只不过标号需要稍稍变换，即我们所说的求模（因为超出数组范围了），那么则有f(2)=(f(1)+m)%2，答案是1没有问题；
三个数时，f(3)=(f(2)+m)%3,答案是1没有问题，后面步骤相同。
那么可以得到一个函数：
java代码如下：
public int Circle2( int n,int m ) {
if( n == 1 ) //最后一个数字标号为0
return 0;
else
return ( Circle2( n-1 , m ) + m ) % n;
}综上，便是两种方法的具体过程，
其中比较难懂的还是求模的道理，那个是说要在一个循环的表之中找数，如果超出范围，则可重新从0开始进行计算；
还有就是对递归方法的掌握，观察法真的不太容易看出来，目前只能出此下策解释，如果有更好的理解方法大家可以与我讨论。