圓桌喫飯問題

  【例2】圓桌喫飯問題 n個人圍着一張圓桌喫飯，每個人都不願意兩天與同一人爲鄰，問最多能坐多少天，並給出一種排列方案？     爲了清楚的理解問題的實質，我們以圖的模型來描述它：設G=(V,E)爲一完全圖，|V|=n。圖中的每個頂點代表一個人，連結頂點的邊表示人之間的相鄰關係。因此，每種圍繞圓桌的喫飯方案就成爲圖中的一條哈密爾頓迴路。設L=<v1,v2,…,vn>爲G中的一條哈密爾頓迴路，其中所含的邊的集合記爲e(L)。試求m與L1,L2,…,Lm，使得e(Li)∩e(Lj)=φ，並且m達到最大值。 爲了求得m的最大值，我們可以先估算一下m上界。完全圖G共有n(n-1)/2條邊，每條哈密爾頓迴路含有n條邊，可見m的上界是(n-1)/2。當n爲奇數時，m=(n-1)/2；當n爲偶數時，m=n/2-1。那麼這個上界是不是精確上界呢？如能構造出m條哈密爾頓迴路，也就證明了它是本題的答案。     現給出構造方法：作一圓，把圓周分成n-1等分，標上n-1個刻度，將頂點1至n-1依次排列在圓周上，頂點n放在圓心。先從圓心出發，向任意點連一條線，再從這點出發，沿圓周向左右兩個方向迂迴連線，直到連完圓周上所有的點，再連回圓心。這樣就構造出一條哈密爾頓迴路。保持所有的頂點位置不變，把所有連線圍繞圓心逆時針方向旋轉一個刻度，得到一條新的哈密爾頓迴路。這樣連續旋轉(n-1)div 2次，就得到了(n-1)div 2條迴路。     下面來證明此算法的正確性。這隻要證明所有的邊旋轉時都不重疊即可。 觀察下圖，可以把所有邊分爲兩大類，圓的半徑和絃，弦又可以按它的長度分爲(n-1)div 2類。顯而易見，不同類別的邊在旋轉時是不會重疊的。那麼相同類別的邊會不會重疊呢？其實每類邊至多隻有兩條，且又處在圓中相對的位置上，所以當所有的邊都旋轉半周以後，是不會重疊的。

    小結： 通過構造數學模型解題，常常能使題目變得易於解決，程序也易於實現。當然，數學方法對選手的數學功底要求也很高，必須有很高的創造性思維能力，有時還需要很好的空間想象能力。用數學方法解題，最重要是要做到不重不漏。數學方法不像其他一些方法如動態規劃，有一個現成的模式可套，實際上，每道具體的問題都有它具體的方法。競賽的時候時間緊張，數學方法不一定就是靈丹妙藥。想出來自然最好，想不出來，有時也不妨試試一些笨方法，做得了多少算多少。當然，當發現搜索的方法根本不可能在規定時間內給出答案的話，不妨從數學的角度出發，尋找規律。本來，數學規律與我們平常說的搜索一類的方法就是互相補充的。