二叉樹的基本概念介紹與代碼實現（多圖+代碼）

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樹的基本概念

          圖1

樹的結點

  結點：使用樹結構存儲的每一個數據元素都被稱爲“結點”。例如，上圖1中，數據元素 1 就是一個結點；
  父結點（雙親結點）、子結點和兄弟結點：對於上圖1中的結點 1,2,3,4 來說，1 是 2,3,4 結點的父結點（也稱爲“雙親結點”），而 2,3,4 都是 1 結點的子結點（也稱“孩子結點”）。對於 2,3,4 來說，它們都有相同的父結點，所以它們互爲兄弟結點。
  樹根結點（簡稱“根結點”）：每一個非空樹都有且只有一個被稱爲根的結點。上圖1中，結點1就是整棵樹的根結點。
  葉子結點：如果結點沒有任何子結點，那麼此結點稱爲葉子結點（葉結點）。例如上圖1中，結點 11,12,6,7,13,9,10都是這棵樹的葉子結點。

子樹和空樹

  子樹：上圖1中，整棵樹的根結點爲結點 1，而如果單看結點2,5,6,11,12 組成的部分來說，也是棵樹，而且節點 2 爲這棵樹的根結點。所以稱 2,5,6,11,12這幾個結點組成的樹爲整棵樹的子樹；同樣，結點 5,11,12 構成的也是一棵子樹，根結點爲5。
  注意：單個結點也是一棵樹，只不過根結點就是它本身。上圖1中，結點 11,12,6 等都是樹，且都是整棵樹的子樹。
  知道了子樹的概念後，樹也可以這樣定義：樹是由根結點和若干棵子樹構成的。
  空樹：如果集合本身爲空，那麼構成的樹就被稱爲空樹。空樹中沒有結點。
  補充：在樹結構中，對於具有同一個根結點的各個子樹，相互之間不能有交集。例如，上圖1中，除了根結點1，其餘元素又各自構成了三個子樹，根結點分別爲 2,3,4，這三個子樹相互之間沒有相同的結點。如果有，就破壞了樹的結構，不能算做是一棵樹。

結點的度和層次

  對於一個結點，擁有的子樹數（結點有多少分支）稱爲結點的度（Degree）。例如，上圖1中，根結點1下分出了 3 個子樹，所以，結點 1 的度爲 3。
  一棵樹的度是樹內各結點的度的最大值。上圖1表示的樹中，各個結點的度的最大值爲 3，所以，整棵樹的度的值是 3。
  結點的層次：從一棵樹的樹根開始，樹根所在層爲第一層，根的孩子結點所在的層爲第二層，依次類推。對於上圖1來說，1 結點在第一層，2,3,4 爲第二層，5,6,7,8,9,10在第三層，11,12,13在第四層。
  一棵樹的深度（高度） 是樹中結點所在的最大的層次。上圖1樹的深度爲 4。
  如果兩個結點的父結點雖不相同，但是它們的父結點處在同一層次上，那麼這兩個結點互爲堂兄弟。例如，上圖1中，結點5,6,7,8,9,10 的父結點都在第二層，所以之間爲堂兄弟的關係。

有序樹和無序樹

  如果樹中結點的子樹從左到右看，誰在左邊，誰在右邊，是有規定的，這棵樹稱爲有序樹；反之稱爲無序樹。
  在有序樹中，一個結點最左邊的子樹稱爲"第一個孩子"，最右邊的稱爲"最後一個孩子"。
拿上圖1來說，如果是其本身是一棵有序樹，則以結點 2 爲根結點的子樹爲整棵樹的第一個孩子，以結點 4 爲根結點的子樹爲整棵樹的最後一個孩子。

森林

  由 m（m >= 0）個互不相交的樹組成的集合被稱爲森林。上圖1中，分別以2,3,4爲根結點的三棵子樹就可以稱爲森林。
  前面講到，樹可以理解爲是由根結點和若干子樹構成的，而這若干子樹本身是一個森林，所以，樹還可以理解爲是由根結點和森林組成的。用一個式子表示爲：Tree =（root,F）
  其中，root 表示樹的根結點，F 表示由 m（m >= 0）棵樹組成的森林。

二叉樹的性質

  經過前人的總結，二叉樹具有以下幾個性質：

• 二叉樹中，第 i 層最多有 2i-1 個結點。
• 如果二叉樹的深度爲 K，那麼此二叉樹最多有 2K-1 個結點。
• 二叉樹中，終端結點數（葉子結點數）爲 n0，度爲 2 的結點數爲 n2，則 n0=n2+1。
• 二叉樹還可以繼續分類，衍生出滿二叉樹和完全二叉樹。

滿二叉樹

  如果二叉樹中除了葉子結點，每個結點的度都爲 2，則此二叉樹稱爲滿二叉樹。

        圖2

  如圖2 所示就是一棵滿二叉樹。

• 滿二叉樹除了滿足普通二叉樹的性質，還具有以下性質：
• 滿二叉樹中第 i 層的節點數爲 2n-1 個。
• 深度爲 k 的滿二叉樹必有 2k-1 個節點 ，葉子數爲 2k-1。
• 滿二叉樹中不存在度爲 1 的節點，每一個分支點中都兩棵深度相同的子樹，且葉子節點都在最底層。
• 具有 n 個節點的滿二叉樹的深度爲 log2(n+1)。

完全二叉樹

  如果二叉樹中除去最後一層節點爲滿二叉樹，且最後一層的結點依次從左到右分佈，則此二叉樹被稱爲完全二叉樹。

              圖3
  如上圖3a 所示是一棵完全二叉樹，如上圖3b中由於最後一層的節點沒有按照從左向右分佈，因此只能算作是普通的二叉樹。
  完全二叉樹除了具有普通二叉樹的性質，它自身也具有一些獨特的性質，比如說，n 個結點的完全二叉樹的深度爲 ⌊log2n⌋+1。
  [log2n]表示取小於 log2n 的最大整數。例如，[log24] = 2，而 [log25⌋]結果也是 2。
  對於任意一個完全二叉樹來說，如果將含有的結點按照層次從左到右依次標號（圖3），對於任意一個結點 i ，完全二叉樹還有以下幾個結論成立：

• 當 i>1 時，父親結點爲結點 [i/2] 。（i=1 時，表示的是根結點，無父親結點）
• 如果 2 * i>n（總結點的個數） ，則結點 i 肯定沒有左孩子（爲葉子結點）；否則其左孩子是結點 2*i 。
• 如果 2 * i+1>n ，則結點 i 肯定沒有右孩子；否則右孩子是結點 2*i+1 。

二叉樹的順序存儲

  二叉樹的順序存儲，指的是使用順序表（數組）存儲二叉樹。需要注意的是，順序存儲只適用於完全二叉樹。換句話說，只有完全二叉樹纔可以使用順序表存儲。因此，如果我們想順序存儲普通二叉樹，需要提前將普通二叉樹轉化爲完全二叉樹。
  有讀者會說，滿二叉樹也可以使用順序存儲。要知道，滿二叉樹也是完全二叉樹，因爲它滿足完全二叉樹的所有特徵。

  普通二叉樹轉完全二叉樹的方法很簡單，只需給二叉樹額外添加一些節點，將其"拼湊"成完全二叉樹即可。如圖4所示：

            圖4
  下圖中，左側是普通二叉樹，右側是轉化後的完全（滿）二叉樹。
  解決了二叉樹的轉化問題，接下來學習如何順序存儲完全（滿）二叉樹。
  完全二叉樹的順序存儲，僅需從根節點開始，按照層次依次將樹中節點存儲到數組即可。

      圖5
  例如，存儲圖5如下 所示的完全二叉樹，其存儲狀態如圖 6 所示：

      圖6
  同樣，存儲由普通二叉樹轉化來的完全二叉樹也是如此。例如，圖 4 中普通二叉樹的數組存儲狀態如圖7 所示：

      圖7
  由此，我們就實現了完全二叉樹的順序存儲。
  不僅如此，從順序表中還原完全二叉樹也很簡單。我們知道，完全二叉樹具有這樣的性質，將樹中節點按照層次並從左到右依次標號（1,2,3,…），若節點 i 有左右孩子，則其左孩子節點爲 2i，右孩子節點爲 2i+1。此性質可用於還原數組中存儲的完全二叉樹，也就是實現由圖6到圖5、由圖 7到圖4的轉變。

二叉樹的鏈式存儲

  二叉樹並不適合用數組存儲，因爲並不是每個二叉樹都是完全二叉樹，普通二叉樹使用順序表存儲或多或多會存在空間浪費的現象。
  接下來我們介紹二叉樹的鏈式存儲結構。

      圖8
  如圖 8 所示，此爲一棵普通的二叉樹，若將其採用鏈式存儲，則只需從樹的根節點開始，將各個節點及其左右孩子使用鏈表存儲即可。因此，圖8對應的鏈式存儲結構如圖9所示：

            圖9
  由圖9可知，採用鏈式存儲二叉樹時，其節點結構由 3 部分構成（如圖10 所示）：

• 指向左孩子節點的指針（Lchild）；
• 節點存儲的數據（data）；
• 指向右孩子節點的指針（Rchild）；
  
       圖10
  鏈式存儲代碼實現：

/*
 * @Description: 二叉樹的鏈式存儲
 * @Version: V1.0
 * @Autor: Carlos
 * @Date: 2020-05-29 16:37:38
 * @LastEditors: Carlos
 * @LastEditTime: 2020-05-29 16:45:13
 */ 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct BitNode
{
    int data;
    struct BitNode *lchild,*rchild;

}BitNode,*BitTree;

void CreateBiTree(BitTree *T){
    *T=(BitNode*)malloc(sizeof(BitNode));
    //根節點
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BitNode*)malloc(sizeof(BitNode));
    //1節點的左孩子2
    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->rchild=(BitNode*)malloc(sizeof(BitNode));
    //1節點的右孩子3
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild=(BitNode*)malloc(sizeof(BitNode));
    //2節點的左孩子
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
int main() {
    BitTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("%d",Tree->lchild->lchild->data);
    return 0;
}

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