【剑指Offer】整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

【题目】

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

【思路】

两种方法！分别是暴力解决和使用数学技巧。

【代码】

1. 暴力解决

从1到n遍历，每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1，大于10的除以10之后再循环判断。我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有$O(log_{10}n+1)$位，我们需要判断每一位是不是1，那么时间复杂度为$O(n*log_{10}n)$。

class Solution {
public:
	int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n){
		if (n <= 0) {
			return 0;
		}
		int result = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int tmp = i;
			while (tmp != 0) {
				if (tmp % 10 == 1) {
					result++;
				}
				tmp /= 10;
			}
		}
		return result;
	}
};

2. 数学技巧

从网上可以看到大量用编程之美给出的规律解题的思路，看了挺多篇文章，这里说说自己的理解。

这里以 736 为例进行分析：

1）个位

我们把736分成两个部分，一部分是个位左边的73，另一部分是个位右边的（因为没有，这里就不用考虑了）。个位可以从0~9变化10次，此记为一轮，每一轮出现一次数字1。然后，会出现74轮（第一部分73从0变化到73）。因此可以得出个位出现1的次数为74。

三种情况：

• 当个位大于1，即上面的情况。可以得出个位出现1的次数为74。

• 当个位等于1，和上面的情况相同。可以得出个位出现1的次数为74。

• 当个位等于0时，即730。第74轮个位到0就结束了，所以个位没有出现1。因此可以得出个位出现1的次数为73。

2）百位

我们继续把736分成两个部分，一部分是个位左边的7，另一部分是个位右边的6。百位可以从0_{9变化10次，个位同样是可以从0}9变化10次，个位变化一轮百位变化一次，百位变化一轮更高位才变化一次。另外百位变化一轮，1会出现10次，这是因为在这一轮中百位为1时，个位可以从0~9变化10次。 然后，百位会出现8轮（第一部分7从0变化到7）。因此可以得出百位出现1的次数为8*10=80次。

三种情况：

• 当百位大于1时，即上面的情况。可以得出百位出现1的次数为80。
• 当百位等于1时，即716。那么第8轮中百位出现1的次数和个位有关，即出现了7次（个位从0~6变化7次）。因此可以得出百位出现1的次数为7*10+7=77。
• 当百位等于0时，即706。那么第8轮中百位到0就结束了，不会出现1。因此可以得出百位出现1的次数为7*10=70。

3）更高位

更高位的处理情况和百位的情况类似。

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下面贴上AC代码的两种写法，时间复杂度都是$O(log_{10}n)$。

写法一：

class Solution {
public:
	int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n){
		if (n <= 0) {
			return 0;
		}
		int result = 0, tmp = n, base = 1;
		while (tmp > 0) {
			int a = tmp % 10;  // 本位的数
			tmp = tmp / 10;  // 高位（本位左边的数）

			result += tmp*base;  // a==0的情况
			if (a == 1) {
				result += n%base + 1;
			}
			else if (a > 1) {
				result += base;
			}
			base *= 10;
		}
		return result;
	}
};

写法二（简洁优美）：

class Solution {
public:
	int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n){
		// 统计次数
		int result = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i *= 10) {
			// 计算高位和低位
			//之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，
			//当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)
			int a = n / i, b = n % i;
			result += (a + 8) / 10 * i + ((a % 10 == 1) ? (b + 1) : 0);
		}
		return result;
	}
};