Java数据结构与算法 day12 图

第12章 图

本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure

图的基本介绍和存储形式

图基本介绍

为什么要有图???

前面我们学了线性表和树,线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系,树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时,这里我们就用到了图。

图的举例说明

• 图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

l图的常用概念：

• 顶点(vertex)
• 边(edge)

• 路径：比如从 D -> C 的路径有
  • D->B->C
  • D->A->B->C
• 无向图(上图)：顶点之间的连接没有方向，比如A-B,即可以是 A-> B 也可以 B->A .
• 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A .

• 带权图：这种边带权值的图也叫网.

图的表示方式

• 图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

 邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。

邻接表:

1.邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2.邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

说明:
1.标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
2.标号为1的结点的相关联结点为0 4，
3.标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
4.....

图的创建图解和代码实现

要求: 代码实现如下图结构.

思路分析  
(1) 存储顶点String  使用 ArrayList 
(2) 保存矩阵 int[][] edges 

代码实现如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
	private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
	private int numofEdges; // 表示边的数目

	public static void main(String[] args) {

		// 测试图的创建
		int n = 5; // 结点的个数
		String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环的添加顶点
		for (String vertex : Ver) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}

		//添加边
		//A-B A-C B-C B-D B-E 
		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
		graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
		graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
		graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E 
		
		//显示邻接矩阵
		graph.showGraph();
		
	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		str = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numofEdges = 0;
	}

	// 插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午6:37:03
	 * @param v1
	 *            表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2
	 *            第二个顶点对应的下标
	 * @param weight
	 *            表示
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		str[v1][v2] = weight;
		str[v2][v1] = weight;
		numofEdges++;
	}

	// 图中常用的方法
	// 返回结点的个数
	public int getNumber() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumEdg() {
		return numofEdges;
	}

	// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return str[v1][v2];
	}

	// 返回结点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : str) {
			System.err.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

}

图的深度优先(DFS)算法图解与实现

图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1) (2)

• 深度优先遍历基本思想

  图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
  
  1.深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
  
  2.我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  
  3.显然，深度优先搜索是一个递归的过程。
  

深度优先遍历算法步骤:
1.访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2.查找结点v的第一个邻接结点w。
3.若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4.若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5.查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析:

要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历。

     A   B   C   D   E
A    0   1   1   0   0
B    1   0   1   1   1
C    1   1   0   0   0
D    0   1   0   0   0 
E    0   1   0   0   0

//说明
//(1) 1 表示能够直接连接
//(2) 0 表示不能直接连接

代码实现如下:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
	private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
	private int numofEdges; // 表示边的数目
	// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
	private boolean[] isNut;

	public static void main(String[] args) {

		// 测试图的创建
		int n = 5; // 结点的个数
		String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环的添加顶点
		for (String vertex : Ver) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}

		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
		graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
		graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
		graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGraph();

		//测试dfs
		System.out.println("深度遍历:");
		graph.dfs();	//A->B->C->D->E->
		
	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		str = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numofEdges = 0;
		isNut = new boolean[5];
	}

	// 插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午6:37:03
	 * @param v1
	 *            表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2
	 *            第二个顶点对应的下标
	 * @param weight
	 *            表示
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		str[v1][v2] = weight;
		str[v2][v1] = weight;
		numofEdges++;
	}

	// 图中常用的方法
	// 返回结点的个数
	public int getNumber() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumEdg() {
		return numofEdges;
	}

	// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return str[v1][v2];
	}

	// 返回结点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : str) {
			System.err.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到第一个邻接结点的下标 w
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午8:03:22
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeigh(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
	public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先算法
	public void dfs(boolean[] isNut, int i) {
		// 首先我们访问该结点,输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		// 将结点设置为已经访问
		isNut[i] = true;
		// 查找结点i的第一个邻接结点w
		int w = getFirstNeigh(i);
		while (w != -1) {// 说明找到了
			if (!isNut[w]) {
				dfs(isNut, w);
			}
			// 如果w结点已经被访问过
			w = getNextNeigh(i, w);
		}
	}

	//对DFS进行重载,遍历所有的结点,并进行DFS
	public void dfs() {
		isNut = new boolean[vertexList.size()];
		//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if(!isNut[i]) {
				dfs(isNut, i);
			}
		}
	}
	
}

图的广度优先(BFS)算法图解

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤:
1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.出队列，取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
	6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。 
	6.2 结点w入队列 
	6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

     A   B   C   D   E
A    0   1   1   0   0
B    1   0   1   1   1
C    1   1   0   0   0
D    0   1   0   0   0 
E    0   1   0   0   0

//说明
//(1) 1 表示能够直接连接
//(2) 0 表示不能直接连接

代码实现如下:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
	private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
	private int numofEdges; // 表示边的数目
	// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
	private boolean[] isNut;

	public static void main(String[] args) {

		// 测试图的创建
		int n = 5; // 结点的个数
		String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环的添加顶点
		for (String vertex : Ver) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}

		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
		graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
		graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
		graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGraph();

		//测试bfs
		System.out.println("广度遍历:");
		graph.bfs();	//A=>B=>C=>D=>E=>
		
	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		str = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numofEdges = 0;
		isNut = new boolean[5];
	}

	// 插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午6:37:03
	 * @param v1
	 *            表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2
	 *            第二个顶点对应的下标
	 * @param weight
	 *            表示
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		str[v1][v2] = weight;
		str[v2][v1] = weight;
		numofEdges++;
	}

	// 图中常用的方法
	// 返回结点的个数
	public int getNumber() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumEdg() {
		return numofEdges;
	}

	// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return str[v1][v2];
	}

	// 返回结点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : str) {
			System.err.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到第一个邻接结点的下标 w
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午8:03:22
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeigh(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
	public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 广度优先算法
	public void bfs(boolean[] isNut, int i) {
		int u ; // 表示队列的头结点对应下标
		int w ; // 邻接结点w
		//队列,记录结点访问的顺序
		LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
		// 访问结点,输出结点信息
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
		// 标记为已访问
		isNut[i] = true;
		// 将结点加入队列
		queue.addLast(i);
		while( !queue.isEmpty()) {
			// 取出队列的头结点下标
			u = (Integer)queue.removeFirst();
			// 得到第一个邻接结点的下标 w 
			w = getFirstNeigh(u);
			while(w != -1) {//找到了
				// 是否访问过
				if(!isNut[w]) {
					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
					// 标记已经访问
					isNut[w] = true;
					// 入队
					queue.addLast(w);
				}
				// 以u为前驱点,找w后面的下一个邻结点
				w = getNextNeigh(u, w); // 体现广度优先
			}
		}
	}

	//对BFS进行重载,遍历所有的结点,并进行BFS
	public void bfs() {
		isNut = new boolean[vertexList.size()];
		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if(!isNut[i]) {
				bfs(isNut, i);
			}
		}
	}	
}

图的DFS和BFS比较

graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);

深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8 

代码实现如下:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
	private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
	private int numofEdges; // 表示边的数目
	// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
	private boolean[] isNut;

	public static void main(String[] args) {

		// 测试图的创建
		int n = 8; // 结点的个数
		String Ver[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环的添加顶点
		for (String vertex : Ver) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}

		// 添加边
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);
		graph.insertEdge(3, 7, 1);
		graph.insertEdge(4, 7, 1);
		graph.insertEdge(2, 5, 1);
		graph.insertEdge(2, 6, 1);
		graph.insertEdge(5, 6, 1);

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGraph();

		// 测试dfs
		System.out.println("深度遍历:");
		graph.dfs(); // 1->2->4->8->5->3->6->7->

		// 测试bfs
		System.out.println("广度遍历:");
		graph.bfs(); // 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		str = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numofEdges = 0;
		isNut = new boolean[5];
	}

	// 插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午6:37:03
	 * @param v1
	 *            表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2
	 *            第二个顶点对应的下标
	 * @param weight
	 *            表示
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		str[v1][v2] = weight;
		str[v2][v1] = weight;
		numofEdges++;
	}

	// 图中常用的方法
	// 返回结点的个数
	public int getNumber() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumEdg() {
		return numofEdges;
	}

	// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return str[v1][v2];
	}

	// 返回结点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : str) {
			System.err.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到第一个邻接结点的下标 w
	/**
	 * 
	 * @Description
	 * @author subei
	 * @date 2020年6月14日下午8:03:22
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeigh(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
	public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (str[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先算法
	public void dfs(boolean[] isNut, int i) {
		// 首先我们访问该结点,输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		// 将结点设置为已经访问
		isNut[i] = true;
		// 查找结点i的第一个邻接结点w
		int w = getFirstNeigh(i);
		while (w != -1) {// 说明找到了
			if (!isNut[w]) {
				dfs(isNut, w);
			}
			// 如果w结点已经被访问过
			w = getNextNeigh(i, w);
		}
	}

	// 对DFS进行重载,遍历所有的结点,并进行DFS
	public void dfs() {
		isNut = new boolean[vertexList.size()];
		// 遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isNut[i]) {
				dfs(isNut, i);
			}
		}
	}

	// 广度优先算法
	public void bfs(boolean[] isNut, int i) {
		int u; // 表示队列的头结点对应下标
		int w; // 邻接结点w
		// 队列,记录结点访问的顺序
		LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
		// 访问结点,输出结点信息
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
		// 标记为已访问
		isNut[i] = true;
		// 将结点加入队列
		queue.addLast(i);
		while (!queue.isEmpty()) {
			// 取出队列的头结点下标
			u = (Integer) queue.removeFirst();
			// 得到第一个邻接结点的下标 w
			w = getFirstNeigh(u);
			while (w != -1) {// 找到了
				// 是否访问过
				if (!isNut[w]) {
					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
					// 标记已经访问
					isNut[w] = true;
					// 入队
					queue.addLast(w);
				}
				// 以u为前驱点,找w后面的下一个邻结点
				w = getNextNeigh(u, w); // 体现广度优先
			}
		}
	}

	// 对BFS进行重载,遍历所有的结点,并进行BFS
	public void bfs() {
		isNut = new boolean[vertexList.size()];
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isNut[i]) {
				bfs(isNut, i);
			}
		}
	}
}

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