Chapter 5：Greedy Algorithms
1、Greedy algorithms build up a solution piece by piece, always choosing the next piece that offers the most obvious and immediate
benefit.
2、每步只看眼前效果最好的做法就是貪婪，我們希望通過局部最優達到全局最優。貪婪算法只找到一種可行解，但不一定是最優解。
3、最小生成樹
- 性質一：Removing a cycle edge can not disconnect a graph
- 性質二：A tree on n nodes has n-1 edges.
樹是連通且沒有環的無向圖。樹因爲其結構的簡單性而具有很多應用。例如，n個結點的樹有且僅有n-1條邊。n個結點和n-1條邊構成的圖不一定是樹，但如果此圖是連通的，則一定是樹 - 性質三：Any connected, undirected graph G = (V, E) with |E| = |V| - 1 is a tree.
- 性質四：An undirected graph is a tree if and only if there is a unique path between any pair of nodes.
4、割性質（Kruskal和prim算法的基礎）：假定邊集X是圖G = (V, E)的某個最小生成樹的一部分。在圖G中挑選任意一組結點S，使得X裏沒有邊橫跨S和V-S兩個結點集合。假如e是所有橫跨這兩個集合權重最小的，則X∪{e}是某個最小生成樹的一部分。
5、最小生成樹的算法
- Kruskal算法
-
- 從邊的角度出發，每次選擇權值最小的邊（貪婪）
- 如何判斷是否循環？用disjoint set
- Prim算法
-
- 從頂點角度出發，步驟爲
-
- 初始時，生成樹的結點集U爲空
- 隨意選擇一個結點，加入結點集，然後重複下列工作直至U=V
- 選擇兩個端點分別位於U和V-U中的代價最小的邊(u, v)（貪婪）
- 把(u, v)加入生成樹的邊集，v加入到U
- Prim最小生成樹算法和Dijkstra最短路徑算法十分相似。Prim選擇最小的邊，Dijkstra選擇最小的距離。
6、貪婪算法的典型應用
- 哈夫曼編碼
-
- 先選擇兩個頻率最低的字母（貪婪），將其合併爲一棵子樹，並將該子樹的頻率記爲組成它的兩個字母的頻率之和
- 如果將開始時的每個字母看成一棵子樹，則在上步後子樹個數少一
- 重複上述上述步驟，直到只有一棵子樹爲止
- Horn formulas
- Set Cover
-
- 定義：給定一個集合B和一組B中的子集合S1,S2...Sm,如何找出改子集中的一組數量最小的子集，使得B中的所有元素均包括在選取的這組子集中？
- 貪婪策略：每次選取包含最多尚未被覆蓋的子集，直到B中雖有元素被覆蓋爲止
- 不是最優策略，但可以證明:此策略選取的子集個數最多不會超過最優結果的ln(n)倍，其中|B| = n
- 事件序列問題
-
- 定義：給定一系列事件，已知開始時間和結束時間，對於給定一段時間，怎麼安排事件，使得不重疊事件發生的數目最多？
- 貪婪策略：按結束時間排序，每次都選擇最早結束且不衝突的事件