快速排序的時間複雜度與空間複雜度

我們來分析一下快速排序法的性能。

快速排序的時間性能取決於快速排序遞歸的深度，

可以用遞歸樹來描述遞歸算法的執行情況。

如圖9‐9‐7所示，它是{50,10,90,30, 70,40,80,60,20}在快速排序過程中的遞歸過程。由於我們的第一個關鍵字是50，正好是待排序的序列的中間值，因此遞歸樹是平衡的，此時性能也比較好。

在最優情況

Partition每次都劃分得很均勻,如果排序n個關鍵字，其遞歸樹的深度就爲
$\log_2(2n+1),節點個數爲n$
例如2個節點，深度爲2.

第一次Partiation應該是需要對整個數組掃描一遍，做n次比較。

獲得的樞軸將數組一分爲二，那麼各自還需要T（n/2）的時間（注意是最好情況，所以平分兩半）
$分成2塊：T（n）≤2T（n/2） +n，T（1）=0,其中n=(\log_22)\times n$
不斷地劃分下去，我們就有了下面的不等式推斷
$分成4塊：T（n）≤2（2T（n/4）+n/2） +n=4T（n/4）+2n,其中2n=(\log_24)\times n$

$分成8塊：T（n）≤4（2T（n/8）+n/4） +2n=8T（n/8）+3n ……$

$分成n塊：T（n）≤nT（1）+（\log_2n）×n= O(n\log_2n)$

也就是說，在最優的情況下，快速排序算法的時間複雜度爲O(nlogn)。

最壞的情況，

待排序的序列爲正序或者逆序，每次劃分只得到一個比上一次劃分少一個記錄的子序列，注意另一個爲空。如果遞歸樹畫出來，它就是一棵斜樹。

此時需要執行n‐1次遞歸調用，且第i次劃分需要經過n‐i次關鍵字的比較才能找到第i個記錄，也就是樞軸的位置，因此比較次數爲

最終其時間複雜度爲O(n^2)。

平均的情況

設樞軸的關鍵字應該在第k的位置（1≤k≤n），那麼：
$T(n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}({T(k-1)+T(n-k))+n}=\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}{T(k)+n}$
空間複雜度，

主要是遞歸造成的棧空間的使用，最好情況，遞歸樹的深度爲
$log_2n$
其空間複雜度也就爲 O(logn)，

最壞情況，

需要進行n‐1遞歸調用，其空間複雜度爲O(n)，

平均情況，

空間複雜度也爲O(logn)。

可惜的是，由於關鍵字的比較和交換是跳躍進行的，因此，

快速排序是一種不穩定的排序方法。

參考自：快速排序最好，最壞，平均複雜度分析

補充：
文本與公式書寫使用typora，但是typora不支持公式左對齊，所以寫出來比較難看。
另外，csdn的markdown 界面不夠好看。