一道幾何題的暴力證明

昨天在哆嗒數學的微信羣裏,網友裴傳傑發了一道幾何題:

對任意四邊形的每條邊上均向外做一個正方形,則可以4個對稱中心,

求證這4個對稱中心所組成的新四邊形的兩條對角線垂直且相等(但不一定互相平分).

今天閒來無事,用解析幾何的座標法再結合matlab的符號計算把本題搞定了.

下面是證明要點,

設四邊形爲$ABCD$,四點座標爲(xa,ya),(xb,yb),(xc,yc),(xd,yd).

然後以$AB$爲x軸正向建立座標系,即xa=ya=0,yb=0.|AB|=a

然後設各邊中點分別爲R,S,T,U

則有

xr=(xa+xb)/2=xb/2 ,

yr=(ya+yb)/2=0

xs=a/2+xc/2

ys=yc/2

xt=(xc+xd)/2

yt=(yc+yd)/2

xu=xd/2

yu=yd/2

再設4個對稱中心分別爲N,M,Q,P.

然後根據https://blog.csdn.net/faithmy509/article/details/80235631的公式,

根據各邊中點和端點的座標可以計算出對稱中心的座標,具體爲

xn=xr-(yb-yr)=a/2
yn=yr+(xa-xr)=-a/2
 
xm=xs-(yb-ys)=a/2 + xc/2 + yc/2
ym=ys+(xb-xs)=a/2 - xc/2 + yc/2
 
 
xq=xt-(yc-yt) =xc/2 + xd/2 - yc/2 + yd/2
yq=yt+(xc-xt)=xc/2 - xd/2 + yc/2 + yd/2
 
xp=xu-(yd-yu)=xd/2 - yd/2
yp=yu+(xd-xu) = xd/2 + yd/2

 

然後計算表達式(xn-xq)^2+(yn-yq)^2-(xp-xm)^2-(yp-ym)^2

和(yq-yn)*(ym-yp)+(xq-xn)*(xm-xp)

結果都爲0,

前者說明兩線段長度相等，後者說明兩線段的斜率互爲負倒數，即垂直