神奇的分形藝術: Mandelbrot集和Julia集

前言

這段時間看了一個關於維度的視頻介紹，嘆於其驚豔的多維幾何體和分形的視覺動畫效果。其實關於分形，已經有很成熟的分形軟件和應用場景，可以參看目前流行的分形軟件一覽，不過沒有及時更新，有些鏈接已經進不了，還有一個 分形藝術網。
關於分形視頻的製作，有不同的製作辦法，例如，這位仁兄的作品：他的思路是通過Shader渲染，然後通過ffmpeg命令把圖片生成mp4視頻；也可以通過專業的分形軟件來做也可以在分形軟件基礎上定製開發；本文采用純Python實現，藉助MoviePy這個包來生成視頻或者gif動畫，本文只是提供有興趣的朋友，瞭解這個領域，並可以動手實踐體驗。
本文討論範圍侷限在 Mandelbrot集合和Julia集合。

Mandelbrot集合

如果英語還行，建議去維基百科讀英文 Mandelbrot集合

Mandelbrot集合是一個複數c的集合，c由 $z_{n+1}=z_{n}^2 + c$公式在$z_0=0$開始迭代而得到。得到的值可以組成一個數列，依次爲 $c,c^2+c,(c^2+c)^2+c$……。當該數列發散到無窮時，對應的點就屬於Mandelbrot集合。Mandelbrot集合是分形中最經典例子。

如 $c=0$ 時，顯然數列永遠是0，並不發散，因此 $c=0$ 不屬於Mandelbrot集合。

又如$c=3i$ 時，對應的數列爲$3i, -9+3i, 63-51i, 1431-6477j$ …. ，數字越來越龐大，因此3i就屬於Mandelbrot集合。

在二維平面上，將所有不屬於Mandelbrot集合的點標記爲黑色，將所有屬於Mandelbrot集合的點按照其發散速度賦予不同的顏色，就可以得到Mandelbrot的經典圖像：

請注意: Mandelbrot集合是在$z_0=0$時，不斷的迭代c得到。

在生成的Mandelbrot集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區域進行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案。在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的3個位置。

其中編號爲2的地方被稱爲“Elephant Valley”，因爲此處的圖案與大象很像，直接運行可以得到該區域的圖像：

 # Elephant Valley
 fractal.gen_mandelbrot(fractal.set_data(x_tuple=(.275, .28),
                                     y_tuple=(.006, .01)),
                        rgb=(.9, .6, .6)).save("mandelbrot_area.png")

編號爲3的地方被稱爲“Triple Spiral Valley”(三重螺旋)，在mandelbrot_area.py修改一下座標位置爲(ratio調整的是顏色)：

# 三重螺旋
fractal.gen_mandelbrot(fractal.set_data(x_tuple=(-.09, -.086),
                                        y_tuple=(.654, .657)),
                       rgb=(.2, .6, .6)).save("mandelbrot_3.png")
   

就可以得到該處的圖案：

最後編號爲1的地方被稱爲“Seahorse Valley”(海馬山谷)，對應的座標爲：

 # Seahorse Valley(海馬山谷)
  fractal.gen_mandelbrot(fractal.set_data(x_tuple=(-.75, -.747),
                                          y_tuple=(.099, .102)),
                          rgb=(.1, .1, .3)).save("mandelbrot_sea.png")

圖像如下，確實和海馬有一點神似：

Julia集合

如果英語還行，建議去維基百科讀英文 Julia集合

Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉而計算髮散的z的值。即c是固定的常數(可以任取)，數列變成$z,z^2+c,(z^2+c)^2 +c$,……。如果該數列發散，對應的z集合就屬於Julia集合。我們看看不同的c值下Julia圖案的差別：

$c = -0.835-0.2321i$ 時:

$c = 0.285 - 0.01i$ 時:：

$c = -0.8 + 0.156i$，圖案又變得完全不同：

$c = -0.835 - 0.2321i$，圖案又變得完全不同：

$c = 0.70176 - 0.3842i$，圖案成爲樹狀：

生成Julia集合的動畫

在Julia集合中，每次都對c的值進行微小的改變，並將依次生成圖片製作爲gif，就可以生成如下所示的動畫: 從這裏下載觀看， 好像不允許上傳gif。程序中提供了一個width參數，可以修改它以生成更大尺寸，質量更高的動畫圖像。

代碼實現

代碼採用TensorFlow實現， 比較簡單，可以從這裏下載代碼。希望你能點贊，反饋，謝謝！