#dp#洛谷 2467 JZOJ 1582 地精部落

題目

問有多少個$1\sim n$的排列對於$\forall i$在$1<i<n$的情況下都滿足$a[i-1]<a[i]>a[i+1]$或$a[i-1]>a[i]<a[i+1]$

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分析

思維好題
首先考慮性質，

• 對於不相鄰的兩個數$j,j+1$，可以互換
• 合法的排列翻轉依舊合法
• 把合法排列每個數$j$都變成$n-j+1$，排列依舊合法

考慮dp，設$dp[i][j]$表示選擇$1\sim i$，第一個數爲$j$，且第一個數大於第二個數的方案，所以最後答案要乘2
因爲$j$和$j-1$在不相鄰時可以互換，所以$dp[i][j]$可以由$dp[i][j-1]$轉移而來，接着如果$j$和$j-1$相鄰，那麼也就轉換成選擇$1\sim i-1$，第一個數爲$j-1$，且第一個數小於第二個數的方案，但是這和定義不符，考慮轉換成選擇$1\sim i-1$，第一個數爲$i-j+1$，且第一個數大於第二個數的方案，因爲如果進行第三條性質，那麼原來大的反而小，初始化$dp[2][2]=1$
綜上所述，$dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1]$

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代碼

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
int n,mod,dp[2][4211],ans;
inline signed mo(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&mod),dp[0][2]=1;
	for (rr int i=3;i<=n;++i)
	for (rr int j=2;j<=i;++j)
	    dp[i&1][j]=mo(dp[i&1][j-1],dp[(i&1)^1][i-j+1]);
	for (rr int i=2;i<=n;++i) ans=mo(ans,dp[n&1][i]);
	return !printf("%d",mo(ans,ans));
}