算法实践：滑块拼图

滑块拼图

描述

问题变为判定从初始局

5 2 8

1 3 0

4 6 7

变为目标局

5 2 8

1 3 7

4 6 0

是否有解的。0代表空格

输入

2个3×3的数字矩阵，一共6行。

每行是3个数字。

前三行代表初始局，后三行代表目标局。

数字0代表X的位置

输出

如果有解输出possible

否则输出impossible

输入样例

7 3 5 
0 1 6 
8 4 2 
3 2 8 
4 6 5 
1 0 7 

输出样例

possible

解法

一共有多少种排列组合方式?

把空格也当成一个滑块，一共有 n×m 个互不相同的滑块

所以答案是：(n×m)！

如果是3×3的九宫格那么组合方式有

9!=362880

如何判断一种组合是合法的？

把方格降维考虑
N=逆序数对之和（不算空格）

e=空格所在的行数

合法性判定：

若n为奇数，当且仅当 N为偶数时合法

若n为偶数，当且仅当 N+e为偶数 时合法

命题1：当n为奇数时，移动后N奇偶性不变
证明：
当N为奇数的时候有结论如下：

如何判断两个N×N矩阵S和T可否相互变换？

1. 求两个N×N矩阵S和T的逆序数 rS和rT（扣除空格后）

2. 若R1与R2奇偶性相同，则可以相互变换，否则不可能

综上所诉（重要的事情说三遍！！！）

题意转化成求两个两个九宫盘的逆序对个数，如果两个奇偶性相同，则possible

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];  //输入数据
int b[1000];  //临时数组
void Merge(int a[],int low,int mid,int high,int tmp[])
{
    int pTmp = 0;
    int p1 = low, p2 = mid + 1;
    while(p1<=mid && p2<=high){
        if(a[p1]>a[p2])
            tmp[pTmp++] = a[p1++];
        else
            tmp[pTmp++] = a[p2++]; 
    }
    while(p1<=mid)
        tmp[pTmp++] = a[p1++];
    while(p2<=high)
        tmp[pTmp++] = a[p2++];
    for(int i=0;i<high-low+1;i++)
        a[low+i]=tmp[i];
}
long long Count(int a[],int low,int mid,int high){
    long long resTarget = 0;
    int p1 = low,p2 = mid+1;
    while (p1<=mid && p2<=high)
    {
        if(a[p1]>a[p2]){
            resTarget += high - p2 +1;
            ++p1;
        }
        else
            ++p2;
    }
    return resTarget;
}
long long MergeSortAndCount(int a[],int low,int high,int tmp[]){
    long long resTarget = 0;
    if(low<high){
        int mid = low + (high-low)/2;
        resTarget += MergeSortAndCount(a,low,mid,tmp);
        resTarget += MergeSortAndCount(a,mid+1,high,tmp);
        resTarget += Count(a,low,mid,high);
        Merge(a,low,mid,high,tmp);
    }
    return resTarget;
}
int main()
{
    int n=3;
    long long resSource,resTarget2;  //Source和Target的逆序数
    memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b));
    int ok=0,x;
    //跳过0
    for(int i=0;i<n*n;i++){
        cin>>x;
        if(x==0) ok=1;
        else a[i-ok] = x;
    }
    resSource = MergeSortAndCount(a,0,n*n-2,b);

    ok=0; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b));
    //跳过0
    for(int i=0;i<n*n;i++){
        cin>>x;
        if(x==0) ok=1;
        else a[i-ok] = x;
    }
    resTarget2 = MergeSortAndCount(a,0,n*n-2,b);

    if((resSource & 1) == (resTarget2 & 1))
        cout<<"possible";
    else
        cout<<"impossible";
}