向量與行列式筆記

向量是指具有大小和方向的量，在物理學中，通常將向量稱爲矢量
標量是指只有大小的量，在物理學中，也叫做標量

箭頭的方向表示向量的方向，線段則表示向量的大小
向量的衆多特性可以是很多概念得到簡化

一，向量

1,向量的表示

• 直角座標系表示：帶箭頭的線段
• 印刷體表示：粗體字母 ，如a、b、D
• 手寫體表示：字母上加一個向右的箭頭，如$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{D}$
• 代數表示：$a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$
• 模的表示：$|a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

2,維度和分量

首先這裏可以打開思路，有人問我，你能想象四維的空間嗎？不能想象就別亂說了。我的確想象不出來，的確我也不能再平面上畫出一個四維的空間，但是這裏的維度是$\color{red}{數學層面}$的！
每一個維度都可以代表任意我們能想象到的事物，這裏的維度完全取決與我們對每個維度的定義！

• 每個維度中的內容：數字、文字或是其他符號都可以
• 不同維度的表示：$n$維空間用$R^n$表示，如二維空間$R^2$、三維空間$R^3$
• 維度的分量：向量在其中一個維度上的值成爲該維度的分量，如$R^3$空間的向量$\vec{a}=(1,2,9)$,那麼$\vec{a}$再三個維度的分量分別是1,2,9

3,零向量和單位向量

• 零向量：長度爲零的向量，與任何向量平行，可記作$O$或$Z$(zero),$O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix},O\in R^3$
• 單位向量：一個非零向量除以它的模，得到單位向量，$N= \frac {a} {|a|}$

二，向量的運算

1,加減法

①加法

向量的加法很簡單，將相同維度的向量依次相加就行了

簡單舉個例子：

$a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{bmatrix}$

②減法

和加法一樣簡單，把相同維度的向量依次相減即可

簡單舉個例子：

$a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{bmatrix}$

2,數乘

向量乘上一個標量就可以組成數乘的運算

簡單舉個例子：
$v=\begin{bmatrix}7\\9\end{bmatrix}，v\times2=\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix}，v\times-6=\begin{bmatrix}-42\\-54\end{bmatrix}$

3,點積

從向量角度看， 對應點對應積的和就是點積運算，點積的結果是標量

簡單舉個例子：
$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=\sum_{i=1}^3 {a_ib_i}$

從幾何角度看，對應的模乘夾角餘弦

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

4,叉積

二維空間中，叉積的定義如下

$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}$
$a\times b=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$
叉積的結果是向量

從幾何角度看，叉積的模等於對應的模乘夾角正弦

$a\times b=|a||b|sin\theta$

三，行列式

1,組成

行列式是由向量組成的式子，是一種運算，結果爲向量

如上面的叉積就是一個簡單的二階行列式：

$\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}$

2,性質

1. 單位矩陣的行列式爲1
2. 如果$D_n=det(A)$中某行的元素全爲0，那麼$D_n=0$
3. 如果$D_n=det(A)$中某兩行元素對應成比例，那麼$D_n=0$
4. 如果$D_n=det(A)$中某兩行互換，那麼互換後的行列式編號，即$det(A)=-det(A)$
5. 倍乘性質：$det(kA_{n\times n})=k^ndet(A_{n\times n})$
6. 倍加性質：$\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1+ka_1&b_2+ka_1\end{vmatrix}$
7. 單行(列)可拆(加)性:$\begin{vmatrix}*\\a_1&a_2&a_3\\* \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}*\\b_1&b_2&b_3\\* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\* \end{vmatrix}$
8. 兩個矩陣相乘的行列式，等於這兩個矩陣的行列式相乘：$det(A^2)=(det(A))^2$

3，意義

線性代數研究向量之間的關係，最重要的關係就是獨立或不獨立，行列式等於0即向量獨立，即對應方程組有唯一解

4，計算

上（下）三角矩陣的行列式等於主對角元素的乘積

計算原則：利用行列式的性質化簡成上（下）三角矩陣的樣子，然後計算乘積

通過公式：
$det(A)=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdot \cdot \cdot a_{n\omega}$

四，代數餘子式

代數餘子式優點像俄羅斯套娃，可以把行列式的階數一直打開到只剩一階（一個數）

什麼是代數餘子式，舉個例子：
三階行列式的計算公式如下
$det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

1，代數餘子式公式：

$det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}a_{1i}C_{1i}$

$C_{xy}$就是$a_{xy}$的代數餘子式，若$x+y$爲奇數，$a_{xy}$爲負數

五，結束語：以上內容如有錯誤或不妥歡迎指出，謝謝！

小白學識有限，難免無不妥之處，歡迎批評指正！