【數據結構】關於樹，我們應該知道什麼

樹

樹型結構是一類重要的非線性數據結構。其中以樹和二叉樹最爲常見。樹是以分支關係定義的層次結構。樹的結構定義是一個遞歸的定義。

 

關於樹的概念：

樹的 結點 包含一個數據元素及若干指向其子樹的分支。

結點擁有的子樹數量成爲結點的 度。

度爲 0 的結點稱爲 葉子 或者 終端結點。

度不爲0的結點稱爲 非終端結點 或 分支結點，除根節點之外，分支結點也稱爲 內部結點。

樹的 度 是樹內各節點的度的最大值。

樹的 深度 是樹中結點的最大層次，也稱爲樹的 高度。

 

有序樹：如果將樹中結點的各節點的子樹看成從左至右是有次序的（即不能互換的），則稱該樹爲有序樹，否則是無序樹。

森林：由m（m>=0）顆互不相交的樹的集合。對樹中的每一個節點而言，其子樹的集合即爲森林（即一棵樹也是一個森林，它的子樹都是這個森林的樹）

 

 

二叉樹

二叉樹是另一種樹型結構，它的特點是 每一個節點至多有兩顆子樹（即二叉樹中不存在度大於2的結點），並且，二叉樹的子樹有左右之分（有序樹）。

二叉樹的性質：

性質1：在二叉樹中，第 i 層的結點個數最多爲  個結點（i>=1）。第 i 層的結點從  到  。 

性質2： 深度爲 k 的二叉樹至多有  個結點（k>=1）

性質3：對於任意一顆二叉樹T，如果其終端結點數爲  ,度爲2的結點數爲  ,則  。

設 n1 爲二叉樹 T 中度爲 1 的結點數，所以二叉樹的結點的總個數爲：
     
     n = n0 + n1 + n2

再看二叉樹的分支數，有多少個分支就有多少個結點（不包括根節點），所以有：
   
    n = n1 + 2 * n2 + 1
得：
     n0 + n1 + n2 = n1 + 2 * n2 + 1
得： 
     n0 = n2 + 1

 

二叉樹的種類

二叉樹包括 完全二叉樹  滿二叉樹 平衡二叉樹  .....

滿二叉樹： 一顆深度爲 k 且有  個結點的二叉樹稱爲 滿二叉樹。這種樹的特點就是 每一層的結點數都是最大數。

完全二叉樹： 深度爲 k , 有 n 個結點的二叉樹，當且僅當 每一個結點都與深度爲 k 的完全滿二叉樹的編號從 1 至 n 一一對應時，稱爲 完全二叉樹。（滿二叉樹也是完全二叉樹）

性質4 ： 具有 n 個結點的完全二叉樹的深度爲 。

           或   

由於   ,因爲 k 是整數，所以    。

性質5： 完全二叉樹的 i 結點的 父節點 爲 i / 2 。 i 結點的左右節點爲 (2* i)  和 (2 * i） + 1 。

 

遍歷二叉樹：

先序遍歷： 根左右

中序遍歷： 左根右

後序遍歷： 左右根

 

 

 

AVL樹：平衡二叉樹   平衡因子

B樹：

B+樹：

紅黑樹：

赫夫曼樹：