面試題目：時間複雜度

一，定義

時間複雜度：就是說執行算法需要消耗的時間長短，越快越好。在一個算法存在最好、平均、最壞三種情況，我們一般關注的是最壞情況，原因是最壞情況是任何輸入實例在運行時間的上界。

二，表示方法

一般用"大O符號表示法"來表示時間複雜度：T(n)=O(f(n))，n是影響複雜度變化的因子，f(n)是複雜度具體的算法。

三，如何推導出時間複雜度呢

1，如果運行時間是常數量級，用常數1表示；

2，只保留時間函數中的最高階項；

3，如果最高階項存在，則省去最高階項前面的係數

三，常見的時間複雜度量級

3.1，常數階O(1)

int a = 1;
int b = 2;
int c = 3;

我們假定每執行一行代碼所需要消耗的時間爲1個時間單位，那麼以上3行代碼就消耗了3個時間單位，那是不是這段代碼的時間複雜度爲O(n)呢 ？其實不是的，因爲大O符號表示法並不是用來表示算法的執行時間，它是用來表示代碼執行時間的增長變化趨勢。

3.2，線性階O(n)

for(i = 1; i <= n; i++) {
   j = i;
   j++;
}

第1行會執行1次，第2行和第3行會分別執行n次，總的執行時間也就是 2n + 1 次，那它的時間複雜度表示是 O(2n + 1) 嗎？ No !
還是那句話：“大O符號表示法並不是用於來真實代表算法的執行時間的，它是用來表示代碼執行時間的增長變化趨勢的”。
所以它的時間複雜度其實是O(n)；原則：只保留時間函數中的最高階項；如果最高階項存在，則省去最高階項前面的係數。

3.3，對數階O(logN)

int i = 1;
while(i < n) {
    i = i * 2;
}
//或：
for(int i = 1; i < n; i = i*2){
    printf("i = %d",i);
}

可以看到每次循環的時候 i 都會乘2，那麼總共循環的次數就是log2n，因此這個代碼的時間複雜度爲O(logn)。
這兒有個問題，爲什麼明明應該是O(log2n）,卻要寫成O(logn)呢？
其實這裏的底數對於研究程序運行效率不重要，寫代碼時要考慮的是數據規模n對程序運行效率的影響，常數部分則忽略，同樣的，如果不同時間複雜度的倍數關係爲常數，那也可以近似認爲兩者爲同一量級的時間複雜度。

3.4，線性對數階O(nlogN)

for(m = 1; m < n; m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

線性對數階O(nlogN) 其實非常容易理解，將時間複雜度爲O(logn)的代碼循環N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

3.5，平方階O(n²)

for(x = 1; i <= n; x++){
   for(i = 1; i <= n; i++) {
       j = i;
       j++;
    }
}

把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間複雜度就是 O(n²) 了。

3.6，立方階O(n³)，K次方階O(n^k)

參考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相當於三層n循環，其它的類似。

3.8，指數階(2^n)

四，常見算法對應時間複雜度

二分法查找，二叉樹遍歷，最優排序矩陣搜索，歸併排序

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