N皇后不互喫問題的scala實現

基本介紹：

國際象棋是8*8的棋盤，每個位置可以放置一個棋子。國際象棋中的皇后棋子，可以向橫、向豎、向斜行走，並喫掉路線上的其他棋子
N皇后不互喫問題，爲：在N * N 的棋盤上，放置N個皇后棋子；其中任意兩個皇后彼此不會互喫。找出所有可能的位置集合

思路：

因爲皇后能橫豎斜喫子的設定，所以存在一個基本條件：要在N * N的棋盤上放置N個皇后不互喫，那麼每一行有且只有一個皇后。

所以我們的思路是：

在每一行放一個皇后的基本條件下，列舉出N * N上放皇后的所有可能的情況。這裏需要注意是所有可能情況，就是說：先不考慮互喫，求所有的每行只放一個皇后的排列集合。例如：N個皇后放在同一列的情況也會被列舉出來
隨後從上面的排列集合中，去除掉所有的：此位置排列方案中，至少存在兩個皇后會互喫的情況。則剩下的方案集合，就是兩兩都不會互喫的最終結果集合

簡化並實現：

上面思路中：先列出所有排列情況、再做篩選的方式，用代碼實現起來並不容易，判斷也比較複雜
如果我們使用遞歸思想，將剔除互喫情況提前在組合子集合的遞歸中，則可以簡化代碼，比較輕鬆的實現。具體過程如下：

對於遞歸首項（初始數據）：當我們在N * N的棋盤上，只在第一行放一個皇后。那這個皇后放在第一行的哪一列都可以。所以首項總共有N种放法，並且沒有衝突（沒有互喫現象）
對於第二行：本步驟實現目的--基於遞歸首項（1中求到的N种放法），在每種放法的第二行再放一個皇后棋子。這一步需要實際考察此放法中，第一行皇后的位置。對於能被已存在的第一行皇后喫到的位置，都不可以放第二個皇后。所以對於第一行求到的每個放法、後續放置第二個皇后時，都有N-2（第一個皇后在兩邊的端點）或N-3（第一個皇后不在端點）種方法。最終放前兩個皇后的總集合，共有 N*（N-3）< X_second < N * (N - 2) 种放法，保證這兩個皇后不會互喫
對於第三行，放置第三個皇后時，也需要判斷與前兩個皇后的互喫問題。但是我們會基於前面的結果，即：只在第二步、總共有 X_second 的方法內進行第三個皇后的放置判斷。因爲只有保證前兩個皇后不互喫，才能保證再加第三個皇后之後，彼此兩兩都不互喫。因此通過這種思想，成功將放置前兩個皇后的 N * N的可能性縮小爲 X_second，並且保證X_second中，都是不可互喫的，簡化了判斷。
對於第四行、第五行、···、第N行，思路與第二、三個皇后放置思想也一樣，都是在前一行已實現的兩兩不互喫可能結果的基礎上，再分析當前行放置皇后的問題。
但如果基於之前的某種放法，進行當前行的放置分析發現：當前行的N個位置中，任意位置放置一個皇后，都會出現互喫問題，則說明這種放法已經沒有實現兩兩不互喫的可能性了，分析到了盡頭。則可以放棄此放法的後續分析（不進行後續遞歸），轉而分析下一條放法。
隨着行數分析的深入，放置皇后越來越多，每種放法後續：當前行可放皇后的位置集合，會越來越少，甚至出現5的情況，任何位置都無法再放皇后，捨棄當前放法的情況。因此，放法數量可能會減少
上述2 -- 6 的過程，抽象爲遞歸思想，就是：假設之前已判斷出前k -1 (k -1 < N) 行放置k - 1個皇后兩兩不互喫的結果，共有 X_k-1 種可能性，則基於這X_k-1 種可能性，逐個分析在第 k 行任意位置放置第k個皇后，並保證兩兩不互喫的可能性，把所有的情況分析完畢後，flatten合併整理，並返回這 X_k 種的可能性，供下次遞歸調用。當k = N 時，最終 X_n 種可能性，就是N皇后問題的最終解的集合

Scala遞歸實現

使用scala實現遞歸，採用了倒序調用遞歸的方式，進一步簡化：

定義遞歸方法爲def findSafePossibilityList(row: Int)，參數row爲要處理的行數。此方法業務意義爲：傳入行數row，返回row個皇后在前row行內放置並且兩兩不相喫的所有放法集合 List[List[(Int, Int)]] 。
最裏面的元組(Int,Int)爲每個皇后的橫縱座標。
所以List[(Int, Int)]表示的是一組皇后座標的List隊列，此List表示：[row個皇后]的安全放置方法實現，其中的任意兩個皇后都不互喫。因此一條List[(Int, Int)]數據，就是某一種的安全放置方法的具體實現
List[List[(Int, Int)]] 則是row個皇后安全放置方法的所有可能實現的集合List
遞歸調用從第k = N項開始，採用倒序排列。可以看到代碼內直接調用了findSafePossibilityList(row -1)，即代表：取到了（row -1）個皇后安全放置方法的所有可能實現的List，並用此來處理第row行數據，這樣就起到了層層調用，遞歸的思想。這裏採用倒序排列，可以只有一個入參，表示第row行，最終遞歸到初始項1或者0，大大簡化了方法實現和重複入參，是scala遞歸的常用方式。
遞歸需要回歸到首項，之前分析到首項是第一行的N個位置，即N種方法。數據上即是N個List的集合List，具體爲List(List((1,1)), List((1,2)), List((1,3)), ..., List((1, N)))，但這個結果不好初始化。我們進一步分析可以找到其中的共性：每一個元素都是一個：只含有一個元組元素的List。而這個數據結構能套用我們之前總結的遞歸算法findSafePossibilityList(row)，可以看到for循環 yield 返回的數據爲(row, column) :: preSafePossibility，對於row =1 時，前面的元組即是(1,1), (1,2), ..., (1, N)。也就是說，如果讓preSafePossibility爲Nil（findSafePossibilityList(0) = Nil），就可拼出初始化的List。所以我們初始化擴展到虛擬的row = 0，返回Nil，即模式匹配中 case 0 => List(List())

總代碼如下：

/** N皇后不互喫問題
  * author: leisu
  * date 2018/8/18 17:20
  */
class QueenQuestion {

  final val N = 8 //定義棋盤寬度爲8 * 8 可以擴展爲任意數

  def findSafePossibilityList(row: Int): List[List[(Int, Int)]] = {

    /**
      * 判斷是否與已存在的皇后互喫
      * @param newAxis     新皇后位置
      * @param possibility 已存在的皇后位置List
      * @return
      */
    def isEatEachOther(newAxis: (Int, Int), possibility: List[(Int, Int)]): Boolean = {
      possibility.exists((oldAxis: (Int, Int)) => newAxis._1 == oldAxis._1 || //橫相喫
        newAxis._2 == oldAxis._2 || //豎相喫
        (newAxis._1 - oldAxis._1).abs == (newAxis._2 - oldAxis._2).abs) //斜相喫
    }

    val possibilityList: List[List[(Int, Int)]] = row match {
      case 0 => List(List()) //起始項爲List()，也是遞歸終結點
      case _ => for {
        //preSafePossibility：前row - 1行的每種皇后安全放置的可能性
        preSafePossibility <- findSafePossibilityList(row - 1) //使用遞歸
        column <- 1 to N  //通過循環，創建第row行內每個位置(row，column)與之前row -1 個皇后都不出現互喫情況
        if (!isEatEachOther((row, column), preSafePossibility))
      } yield (row, column) :: preSafePossibility //返回新的可能性的List
    }
    possibilityList
  }
}

object QueenQuestion extends App {
  val queenQuestion = new QueenQuestion
  val answer = queenQuestion.findSafePossibilityList(8)
  answer.foreach(println)
  println(s"size == ${answer.size}")
}

最終執行結果如下：

List((8,4), (7,2), (6,7), (5,3), (4,6), (3,8), (2,5), (1,1))
List((8,5), (7,2), (6,4), (5,7), (4,3), (3,8), (2,6), (1,1))
List((8,3), (7,5), (6,2), (5,8), (4,6), (3,4), (2,7), (1,1))
List((8,3), (7,6), (6,4), (5,2), (4,8), (3,5), (2,7), (1,1))
List((8,5), (7,7), (6,1), (5,3), (4,8), (3,6), (2,4), (1,2))
List((8,4), (7,6), (6,8), (5,3), (4,1), (3,7), (2,5), (1,2))
List((8,3), (7,6), (6,8), (5,1), (4,4), (3,7), (2,5), (1,2))
List((8,5), (7,3), (6,8), (5,4), (4,7), (3,1), (2,6), (1,2))
List((8,5), (7,7), (6,4), (5,1), (4,3), (3,8), (2,6), (1,2))
List((8,4), (7,1), (6,5), (5,8), (4,6), (3,3), (2,7), (1,2))
List((8,3), (7,6), (6,4), (5,1), (4,8), (3,5), (2,7), (1,2))
List((8,4), (7,7), (6,5), (5,3), (4,1), (3,6), (2,8), (1,2))
List((8,6), (7,4), (6,2), (5,8), (4,5), (3,7), (2,1), (1,3))
List((8,6), (7,4), (6,7), (5,1), (4,8), (3,2), (2,5), (1,3))
List((8,1), (7,7), (6,4), (5,6), (4,8), (3,2), (2,5), (1,3))
List((8,6), (7,8), (6,2), (5,4), (4,1), (3,7), (2,5), (1,3))
List((8,6), (7,2), (6,7), (5,1), (4,4), (3,8), (2,5), (1,3))
List((8,4), (7,7), (6,1), (5,8), (4,5), (3,2), (2,6), (1,3))
List((8,5), (7,8), (6,4), (5,1), (4,7), (3,2), (2,6), (1,3))
List((8,4), (7,8), (6,1), (5,5), (4,7), (3,2), (2,6), (1,3))
List((8,2), (7,7), (6,5), (5,8), (4,1), (3,4), (2,6), (1,3))
List((8,1), (7,7), (6,5), (5,8), (4,2), (3,4), (2,6), (1,3))
List((8,2), (7,5), (6,7), (5,4), (4,1), (3,8), (2,6), (1,3))
List((8,4), (7,2), (6,7), (5,5), (4,1), (3,8), (2,6), (1,3))
List((8,5), (7,7), (6,1), (5,4), (4,2), (3,8), (2,6), (1,3))
List((8,6), (7,4), (6,1), (5,5), (4,8), (3,2), (2,7), (1,3))
List((8,5), (7,1), (6,4), (5,6), (4,8), (3,2), (2,7), (1,3))
List((8,5), (7,2), (6,6), (5,1), (4,7), (3,4), (2,8), (1,3))
List((8,6), (7,3), (6,7), (5,2), (4,8), (3,5), (2,1), (1,4))
List((8,2), (7,7), (6,3), (5,6), (4,8), (3,5), (2,1), (1,4))
List((8,7), (7,3), (6,1), (5,6), (4,8), (3,5), (2,2), (1,4))
List((8,5), (7,1), (6,8), (5,6), (4,3), (3,7), (2,2), (1,4))
List((8,1), (7,5), (6,8), (5,6), (4,3), (3,7), (2,2), (1,4))
List((8,3), (7,6), (6,8), (5,1), (4,5), (3,7), (2,2), (1,4))
List((8,6), (7,3), (6,1), (5,7), (4,5), (3,8), (2,2), (1,4))
List((8,7), (7,5), (6,3), (5,1), (4,6), (3,8), (2,2), (1,4))
List((8,7), (7,3), (6,8), (5,2), (4,5), (3,1), (2,6), (1,4))
List((8,5), (7,3), (6,1), (5,7), (4,2), (3,8), (2,6), (1,4))
List((8,2), (7,5), (6,7), (5,1), (4,3), (3,8), (2,6), (1,4))
List((8,3), (7,6), (6,2), (5,5), (4,8), (3,1), (2,7), (1,4))
List((8,6), (7,1), (6,5), (5,2), (4,8), (3,3), (2,7), (1,4))
List((8,8), (7,3), (6,1), (5,6), (4,2), (3,5), (2,7), (1,4))
List((8,2), (7,8), (6,6), (5,1), (4,3), (3,5), (2,7), (1,4))
List((8,5), (7,7), (6,2), (5,6), (4,3), (3,1), (2,8), (1,4))
List((8,3), (7,6), (6,2), (5,7), (4,5), (3,1), (2,8), (1,4))
List((8,6), (7,2), (6,7), (5,1), (4,3), (3,5), (2,8), (1,4))
List((8,3), (7,7), (6,2), (5,8), (4,6), (3,4), (2,1), (1,5))
List((8,6), (7,3), (6,7), (5,2), (4,4), (3,8), (2,1), (1,5))
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List((8,7), (7,1), (6,3), (5,8), (4,6), (3,4), (2,2), (1,5))
List((8,1), (7,6), (6,8), (5,3), (4,7), (3,4), (2,2), (1,5))
List((8,3), (7,8), (6,4), (5,7), (4,1), (3,6), (2,2), (1,5))
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List((8,7), (7,4), (6,2), (5,8), (4,6), (3,1), (2,3), (1,5))
List((8,4), (7,6), (6,8), (5,2), (4,7), (3,1), (2,3), (1,5))
List((8,2), (7,6), (6,1), (5,7), (4,4), (3,8), (2,3), (1,5))
List((8,2), (7,4), (6,6), (5,8), (4,3), (3,1), (2,7), (1,5))
List((8,3), (7,6), (6,8), (5,2), (4,4), (3,1), (2,7), (1,5))
List((8,6), (7,3), (6,1), (5,8), (4,4), (3,2), (2,7), (1,5))
List((8,8), (7,4), (6,1), (5,3), (4,6), (3,2), (2,7), (1,5))
List((8,4), (7,8), (6,1), (5,3), (4,6), (3,2), (2,7), (1,5))
List((8,2), (7,6), (6,8), (5,3), (4,1), (3,4), (2,7), (1,5))
List((8,7), (7,2), (6,6), (5,3), (4,1), (3,4), (2,8), (1,5))
List((8,3), (7,6), (6,2), (5,7), (4,1), (3,4), (2,8), (1,5))
List((8,4), (7,7), (6,3), (5,8), (4,2), (3,5), (2,1), (1,6))
List((8,4), (7,8), (6,5), (5,3), (4,1), (3,7), (2,2), (1,6))
List((8,3), (7,5), (6,8), (5,4), (4,1), (3,7), (2,2), (1,6))
List((8,4), (7,2), (6,8), (5,5), (4,7), (3,1), (2,3), (1,6))
List((8,5), (7,7), (6,2), (5,4), (4,8), (3,1), (2,3), (1,6))
List((8,7), (7,4), (6,2), (5,5), (4,8), (3,1), (2,3), (1,6))
List((8,8), (7,2), (6,4), (5,1), (4,7), (3,5), (2,3), (1,6))
List((8,7), (7,2), (6,4), (5,1), (4,8), (3,5), (2,3), (1,6))
List((8,5), (7,1), (6,8), (5,4), (4,2), (3,7), (2,3), (1,6))
List((8,4), (7,1), (6,5), (5,8), (4,2), (3,7), (2,3), (1,6))
List((8,5), (7,2), (6,8), (5,1), (4,4), (3,7), (2,3), (1,6))
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List((8,3), (7,1), (6,7), (5,5), (4,8), (3,2), (2,4), (1,6))
List((8,8), (7,2), (6,5), (5,3), (4,1), (3,7), (2,4), (1,6))
List((8,3), (7,5), (6,2), (5,8), (4,1), (3,7), (2,4), (1,6))
List((8,3), (7,5), (6,7), (5,1), (4,4), (3,2), (2,8), (1,6))
List((8,5), (7,2), (6,4), (5,6), (4,8), (3,3), (2,1), (1,7))
List((8,6), (7,3), (6,5), (5,8), (4,1), (3,4), (2,2), (1,7))
List((8,5), (7,8), (6,4), (5,1), (4,3), (3,6), (2,2), (1,7))
List((8,4), (7,2), (6,5), (5,8), (4,6), (3,1), (2,3), (1,7))
List((8,4), (7,6), (6,1), (5,5), (4,2), (3,8), (2,3), (1,7))
List((8,6), (7,3), (6,1), (5,8), (4,5), (3,2), (2,4), (1,7))
List((8,5), (7,3), (6,1), (5,6), (4,8), (3,2), (2,4), (1,7))
List((8,4), (7,2), (6,8), (5,6), (4,1), (3,3), (2,5), (1,7))
List((8,6), (7,3), (6,5), (5,7), (4,1), (3,4), (2,2), (1,8))
List((8,6), (7,4), (6,7), (5,1), (4,3), (3,5), (2,2), (1,8))
List((8,4), (7,7), (6,5), (5,2), (4,6), (3,1), (2,3), (1,8))
List((8,5), (7,7), (6,2), (5,6), (4,3), (3,1), (2,4), (1,8))
size == 92

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