Gustafson 定律

Overview

Gustafson 定律(Gustafson’s law)阐述了数据并行带来的影响。Gustafson 定律是由 John L. Gustafson 在1988年提出的。是并行计算领域除了 Amdahl 定律之后又一个重要定律。

Introduction

Amdahl 定律有一个重要前提，就是处理的数据集大小是固定的，但是这在大数据计算的领域里，这个假设并不经常能达到，因为人们总是会为了在短时间内处理更多的数据，而为了达到目的，往往会在计算集群增加更多的处理器。

Gustafson 定律的提出，始于 Gustafson 实验室的一个实验，在一个拥有1024个处理器的计算机，观察到了超线性加速比，分别获得了1021x/1020x/1016x的加速比，如果按照 Amdahl 定律，1024核，早就在某处歇菜了，哪里来1000x以上的加速。

1021 for beam stress analysis using conjugate gradients, 1020 for baffled surface wave simulation using explicit finite differences, and 1016 for unstable fluid flow using flux-corrected transport.

现在看看这个下面这个图，可以理解一下，数据规模和处理器个数以及时间的关系。

解读一下这个图，为了达到随着数据规模 $n$ 增大，所用到的处理器 $p$ 也成倍增加。所以加速比，可以用相同时间处理的数据量来衡量，用下面的公式表示。

$s_{(p)} = \frac{t_{seq} + p \times t_{par}}{t_{seq} + t_{par}}$

下面的公式，说明在一台机器里，串行代码的比例 $a_{seq}$，其实就是串行代码运行的时间 $t_{seq}$ 和串行以及并行代码运行时间的和 $t_{seq} + t_{par}$ 的比值。

$a_{seq}= \frac{t_{seq}}{t_{seq} + t_{par}}$

经过换元，加速比公式可以换成下面那种形式。

$s_{(p)} = a_{seq} + \frac{p \times t_{par}}{t_{seq} + t_{par}}$

又知道并行代码所占的比例 $a_{par}$ 是 $t_{par}$ 和串行以及并行代码运行时间的和 $t_{seq} + t_{par}$ 的比值。

$a_{par}= \frac{t_{par}}{t_{seq} + t_{par}}$

又来换元了，所以加速比的公式简化成下面的样子。

$s_{(p)} = a_{seq} + p \times a_{par}$

已知 $a_{seq}$ 是固定的，那么加速比 $s_{p}$ 就会向 $p \times a_{par}$ 渐近。

Summary

Gustafson 认为，串行部分代码比例固定的前提加，加速比会随着处理器个数增加而增加。需要注意下图 $a$ 表示串行代码的部分，可以见到，随着串行部分代码的增加，加速比越来越弱鸡。

所以 Gustafson 的意思就是说，如果你代码里少点串行的部分，你的代码可以在多核环境下起飞（当然也不是没有限制）。

Reference

1. Reevaluating Amdahl’s Law
2. Gustafson’s law