題目描述
給定一個由 nn 行數字組成的數字梯形如下圖所示。
梯形的第一行有 mm 個數字。從梯形的頂部的 mm 個數字開始，在每個數字處可以沿左下或右下方向移動，形成一條從梯形的頂至底的路徑。
分別遵守以下規則：
-
從梯形的頂至底的 mm 條路徑互不相交；
-
從梯形的頂至底的 mm 條路徑僅在數字結點處相交；
-
從梯形的頂至底的 mm 條路徑允許在數字結點相交或邊相交。
輸入格式
第 11 行中有 22 個正整數 mm 和 nn，分別表示數字梯形的第一行有 mm 個數字，共有 nn 行。接下來的 nn行是數字梯形中各行的數字。
第 11 行有 mm 個數字，第 22 行有 m+1m+1 個數字，以此類推。
輸出格式
將按照規則 11，規則 22，和規則 33 計算出的最大數字總和並輸出，每行一個最大總和。
輸入輸出樣例
輸入 #1複製
2 5 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1
輸出 #1複製
66 75 77
說明/提示
1≤m,n≤20
思路：
點不能重合，那麼拆點，將其流量設置爲1，費用爲點權。
點可以重合，但邊不能重合，不用拆點，點權放在這個點的出邊上，除了最後一排點的出邊的流量爲inf，其餘的邊的流量都爲1。因爲最後一排點到匯點的邊是代表選擇最後一個點，點能重合所以這裏流量爲inf。
最後邊能重合，則將中間的邊的流量設置爲inf即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<string>
#include<vector>
#include<unordered_map>
#define mod (1000000007)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 2e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
int v,f,w,nxt;
} e[50005<<2];
int n,m,N;
int head[MAX],d[MAX],vis[MAX],tot=1,p[MAX];
void add(int u,int v,int f,int cost=0) {
e[++tot].v = v;e[tot].f = f;e[tot].w = cost;e[tot].nxt = head[u];head[u] = tot;
e[++tot].v = u;e[tot].f = 0; e[tot].w = -cost;e[tot].nxt = head[v];head[v] = tot;
}
bool bfs(int s,int t) {
for(int i = 0; i<=N; i++)
d[i]=inf,vis[i]=0;
d[s]=0;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt) {
int j=e[i].v;
if(e[i].f&&d[j]>d[u]+e[i].w) {
d[j]=d[u]+e[i].w;
p[j]=i;
if(!vis[j])vis[j]=1,q.push(j);
}
}
}
return d[t]<inf;
}
int MCMF(int s,int t,int &flow) {
int ans=0;
while(bfs(s,t)) {
int x=t,f=inf;
while(x!=s) {
f = min(f,e[p[x]].f),x=e[p[x]^1].v;
}
flow += f;
ans+=1LL*d[t]*f;
x=t;
while(x!=s) {
e[p[x]].f-=f,e[p[x]^1].f+=f;
x=e[p[x]^1].v;
}
}
return ans;
}
int a[50][50],id[50][50],ii=0;
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);
int st=0,ed,fl=0;N=ed;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=1;j<=m+i;j++){
scanf("%d",&a[i+1][j]);
id[i+1][j]=++ii;
}
}
ed=2*ii+1;N=ed;//N記得賦初值
for(int i=0;i<=ed+1;i++) head[i]=-1;//上限設置小了
for(int i=1;i<=m;i++) add(st,id[1][i],1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<m+i;j++) add(id[i][j],id[i][j]+ii,1,-a[i][j]);
for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<m+i;j++) add(id[i][j]+ii,id[i+1][j],1,0),add(id[i][j]+ii,id[i+1][j+1],1,0);
for(int i=1;i<m+n;i++) add(id[n][i]+ii,ed,1,0);
int ans=-MCMF(st,ed,fl);
tot=1;
for(int i=0;i<=ed+1;i++) head[i]=-1;
for(int i=1;i<=m;i++) add(st,id[1][i],1,0);//只有m條路徑，所以這裏必須是1，不能是inf。
//因爲邊不重合，所以下面每條邊只能走一次，但一個點的不同路徑走的話都能獲得這個點的值
for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<m+i;j++) add(id[i][j],id[i+1][j],1,-a[i][j]),add(id[i][j],id[i+1][j+1],1,-a[i][j]);
for(int i=1;i<m+n;i++) add(id[n][i],ed,inf,-a[n][i]);//這裏爲inf因爲最後一個點可能被選多次，這裏不存在邊相互交叉的問題
int ans2=-MCMF(st,ed,fl);
tot=1;
for(int i=0;i<=ed+1;i++) head[i]=-1;
for(int i=1;i<=m;i++) add(st,id[1][i],1,0);
//邊也可以走多次，則下面邊的流量也設置爲inf
for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<m+i;j++) add(id[i][j],id[i+1][j],inf,-a[i][j]),add(id[i][j],id[i+1][j+1],inf,-a[i][j]);
for(int i=1;i<m+n;i++) add(id[n][i],ed,inf,-a[n][i]);
int ans3=-MCMF(st,ed,fl);
printf("%d\n%d\n%d\n",ans,ans2,ans3);
return 0 ;
}