正則表達式表示實數

基本介紹

$1.$任意實數都可以表示爲小數的形式：對於有限小數，在其末尾增加無限個$0$，將所有的實數都統一爲無限小數。因此實數的表示即爲無限小數的表示。

$2.$考慮$\forall x\geq 0$，一定可以劃分爲整數部分$\lfloor x \rfloor$，以及小數部分$x-\lfloor x \rfloor$，整數部分顯然，小數部分可以表示爲$\sum_{i=1}^{∞}a_{i}p^{-i}$，即對於前綴$a_{1},a_{1}a_{2},....,a_{1}...a_{j}$有以下表示$a_{1}/p,(a_{1}p+a_{2})/p^{2},....,(a_{1}p^{j-1}+...+a_{j})/p^{j}$。
分子部分是$p$進制下$a_{1}...a_{j}$的數值。
分母部分是正則表示式中$\{1,...,p-1\}\{0,...,p-1\}^{*}∪\{\varepsilon\}$中長度至多爲$j$的單詞數量之和（$(p-1)\sum_{i=0}^{j-1}p^{i}+1=p^{j})$

$3$.通過剛纔的方法可以表示出$[\frac{1}{p},1]$，爲了得到$\forall x\in[0,1]$，可以通過對$x$乘一個$p^{k}$使得$\ p^{k}x \in[\frac{1}{p},1]$，對於指數$k$很容易保存，這樣就表示出了$x\in [\frac{1}{p^{k+1}},\frac{1}{p^{k}}]$，這裏$x$可以用和$[\frac{1}{p},1]$同樣的方法處理，只是多了$k$個前導零。因此我們需要關心的只有$[\frac{1}{p},1]$這一部分的實數了。

$4.$另外對於$x\in[\frac{1}{p},1]$，有可能存在超過一種表示。實際上在實數中，$1.999...$與$2.000...$都表示$\frac{2}{10}$，而在這裏考慮的是$[\frac{r}{p^{n}},\frac{r+1}{p^n}]$這樣的區間。如果數$x$在區間的端點上，那麼它將會有兩種不同的表示，否則就有唯一的表示。

前置知識：

1.語言和自動機
$\sum$：有限字符集
$\sum^{*}$： 克林閉包
$\sum^{+}$：正閉包
$|w|$： 字符串$w$的長度
$\#Q$： 有限集合$Q$的基數
$DFA$：被$\sum$標記的一個有向圖$(K,s,F,\sum,δ)$，$K$代表狀態的有限集合，$s\in K$是一個初始狀態，$F\subseteq K$是終止狀態的集合，$δ：K×\sum\rightarrow K$是轉移函數
$識別$：如果一個單詞可以從初態出發不斷轉移最終到達終態，那麼這個單詞就被識別出來。
$語言$：克林閉包的一個子集
$正則語言$：如果一個語言中的單詞都能夠被識別出來，那麼該語言被稱爲正則語言。
$L_{k}$：$\{ x\in \sum^{*},δ(k,x)\in F\}$，而一般所說的$L$就是$L_{s}$

2.整數的表示
基數序：基數序是用來比較兩個單詞的大小，對於兩個單詞$x$和$y$，如果（$|x|<|y|）$或者（$|x|=|y|$並且存在某個單詞$δ\leq \tau$,且有$x=wδx^{'},y=w\tau y^{'}$)，我們就認爲$x\leq y$。
代數系統：代數系統定義爲一個三元組$(L,\sum,<)$，$L$是一個無限長度的正則表達式，這個代數系統用以實現$N$和$L$的一一映射。
$rep_{S}(n)$：整數到單詞的映射，代表$n+1$大的單詞。
$val_{S}(w)$：單詞到整數的映射：如果$w$是第$n+1$大的單詞，那麼$val_{S}(w)=n$。

如上圖，易見$rep_{S}(4)=ab$，$val_{S}(aba)=12$。
對於$rep_{S}(k)$和$val_{S}(k)$，可以通過貪心算法構造出來。
更一般地，對於$\forall k \in K$，通過$L_{k}$構造出來新的代數系統$S_{k}=(L_{k},\sum,<)$，相應的函數則爲$rep_{S_{k}}$和$val_{S_{k}}$，在不混淆的情形下，大寫的$S$可以被省略。
$u_{l}(k)$：$u_{l}(k)=\#(L_{k}∩\sum^{l})$，實際上就是所有從狀態$k$出發通過$l$次轉移正好被接收的單詞的數量。
$v_{l}(k)$：$v_{l}(k)=\sum_{i=0}^{l}u_{l}(k)$，實際上就是所有從狀態$k$出發在$l$次轉移之內被接受的單詞的數量。
特別地，對於$u_{l}(s)$和$v_{l}(s)$在不至引起混淆的情形下可以簡寫爲$u_{l}$和$v_{l}$。

定理1：如果$σw\in L_{k}$，並且滿足$σ\in \sum$，$w\in \sum^{+}$，那麼$val_{k}(σw)=val_{k.σ}(w)+v_{|w|}(k)-v_{|w|-1}(k.σ)+\sum_{σ^{'}<σ}u_{|w|}(k.σ^{'})$
證明：選取第一個字符$c\in\sum$，若字符$c=σ$爲第一項，若字符$c<σ$且長度爲$|w|+1$爲第四項，若長度小於$|w|+1$的爲第二項，容斥掉$c=σ$並且長度小於$|w|+1$的重複的一部分。

定理2：如果$σ\in \sum$，那麼$val_{k}(σ)=u_{0}(k)+\sum_{σ^{'}<σ}u_{0}(k.σ^{'})$
證明：比較顯然。

通過定理1和定理2，可以得到對於$w=w_{l}...w_{1}\in L_{k}$，可以得到以下的公式：
$val_{k}(w)=v_{l-1}(k)+\sum_{σ<w_{l}}u_{l-1}(k.σ)+...+\sum_{σ<w_{2}}u_{1}(k.w_{l}...w_{3}σ)-v_{0}(k.w_{l}...w_{2})+val_{k.w_{l}...w_{2}}(w_{1})$

推論1：把原式轉化成一個更簡的形式有：
$val_{k}(w)=\sum_{q\in K}\sum_{i=1}^{|w|-1}β_{q,i}(k,w)u_{i}(q)$
其中$β_{q,i}(k,w)$是一個常數，它的大小不超過$\#\sum+δ_{k,q}$

3.無窮單詞
$\sum^{w}$：定義爲無窮長度正則表達式的集合。

子串：對於單詞$w=w_{0}w_{1}...w_{|w|-1}$，如果$0<l\leq r< |w|$，那麼$w[l,r]$就稱爲是$w$的一個子串。

極限：
如果某個單詞序列$w_{n}\in \sum^{*}$滿足$\forall l \in N,\exist N \in N ,\forall n>N,w_{n}[0,l]=w[0,l]$。記爲$lim_{n\rightarrow∞}w_{n}=w$。
具體地說：對於任意長度的前綴，都滿足存在一個自然數$N$，並且這個序列存在$n$，使得$n\geq N$的$w_{n}$都和$w$相同，那麼$w_{n}\rightarrow w$。

另外一種定義極限的方法是定義兩個串$x$和$y$的距離$d(x,y)$。
$d(x,y)=2^{-n},n=inf\{j:x[j,j]\not = y[j,j],(x\not = y)$
$d(x,y)=∞,(x=y)$
然後對於所有的有限單詞$x$都定義爲$x\tau^{w},\tau\not \in \sum$，那麼$w_{n}$收斂於$w$就對應爲拓撲空間$(\sum∪\{\tau\})^{w}$上$w_{n}$的極限爲$w$。

如果$L$是一個語言。
定義$L_{∞}$是有無窮多個前綴在$L$中的無窮單詞的集合，$L_{∞}=\{w\in \sum^{w}|\exist^{w}n:w[0,n]\in L\}$，這裏$\exist^{w}$代表存在無窮多個$n$。
定義$\mathscr L_{∞}=\{w\in \sum^{w}|\exist(w_{n})_{n\in N}\in L^{N}:lim_{n\rightarrow∞}w_{n}=w\}$
注意到有$L_{∞}\sub \mathscr L_{∞}$

一些問題

分別要解決以下問題：
$1.$ $L_{∞}$和$\mathscr L_{∞}$的不可數性。
$2.$ 極限$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{val_{S}(w_{n})}{v_{|w_{n}|}}$的存在性。

$L_{∞}$和$\mathscr L_{∞}$的不可數性

$1.1$ $\mathscr L_{∞}$的不可數性。
如果可以從$s$到狀態$k$，那麼說這個狀態是$accessible$的。如果可以從狀態$k$到$F$，那麼說這個狀態是$coaccessible$的。
定理3：集合$\mathscr L_{∞}$是不可數的當且僅當$DFA$上存在兩個互異的環$(p_{1},....p_{r},p_{1})$和$(q_{1},...q_{t},q_{1})$滿足以下的條件：
$1.$ $p_{1}=q_{1}$，
$2.$ $\{p_{1},....,p_{r},q_{1},...,q_{t}\}$存在一個$accessible$的狀態，
$3.$ $\{p_{1},....,p_{r},q_{1},...,q_{t}\}$存在一個$coaccessible$的狀態。
證明：
充分性：定義$c$是$accessible$，$d$是$coaccessible$，顯然存在$w,w^{'}$使得$s.w=c$並且$d.w^{'}\in F$，並且定義$y_{0},y_{1}$分別爲$(p_{1},p_{2}...p_{r},p_{1})$,$(q_{1},q_{2}...q_{t},q_{1})$的路徑，顯然可以構造出一個序列$wxy_{f(0)}y_{f(1)}....y_{f(i)}x^{'}w^{'}$，對於$f\not =g$，有$y_{f}\not=y_{g}$，本質上是一個實數的二進制表示，所以是不可數的。充分性得證。
必要性：假設任何一個狀態轉移的路徑從$s$開始到$F$中某一個結束，最多隻會屬於一個環。換句話說，如果$xyz\in L$，滿足$s.x$屬於環$(s.x,p_{2},...p_{r},s.x)$，$s.xy$屬於環$(s.xy,q_{2},...q{t})$，並且這兩個環沒有任何交集。
$L$可以寫成以下的形式:
$\lambda_{1}\mu_{1}^{*}\lambda_{2}\mu_{2}^{*}...\lambda_{j}\mu_{j}^{*}\lambda_{j+1}$，$\lambda_{i},\mu_{i}\in \sum^{*}$.
那麼對於$m\in\mathscr L_{∞}$，按照定義它應該有無窮多個公共前綴，那麼這些前綴應該是以下的形式之一：
$\lambda_{1}\mu_{1}^{w},\lambda_{1}\mu_{1}^{n_{1}}\lambda_{2}\mu_{2}^{w},...,\lambda_{1}\mu_{1}^{n_{1}}\lambda_{2}\mu_{2}^{n_{2}}...\mu_{j-1}^{n_{j-1}}\lambda_{j}\mu_{j}^{w}$，$n_{1},....,n_{j-1}\in N$
這個序列是可數的，這和$\mathscr L_{∞}$不可數是矛盾的，所以假設不成立。必要性得證。

$1.2$ $L_{∞}$的不可數性。
定理4：集合$L_{∞}$是不可數的當且僅當$DFA$上存在兩個互異的環$(p_{1},....p_{r},p_{1})$和$(q_{1},...q_{t},q_{1})$滿足以下的條件：
$1.$ $p_{1}=q_{1}$，
$2.$ $\{p_{1},....,p_{r},q_{1},...,q_{t}\}$存在一個$accessible$的狀態，
$3.$ 存在$i\leq r,j\leq t$使得$p_{i}$和$q_{j}$都是終態。
證明和定理3是類似的，只是這裏的條件有所加強，因爲$L_{∞}$要滿足對任意長度的前綴都成立，因此終態必須要落在環上。另外特別的，當$i=j=1$的時候，就只有一個終態。

基本假設

注意到$u_{n}(q)$是一個常係數線性遞歸方程的解，所以$u_{n}(q)$存在一個通解，使得$u_{n}(q)=\sum_{i=1}^{r}P_{i}(n)\mu_{i}^{n}$。其中$P_{i}$是一個多項式，而$\mu_{i}$是一個複數。
這裏先預先給出了一些假設。
假設$\mu_{1}$是一個實數並且滿足$\mu_{1}>max_{i=2...r}\{|\mu_{i}|,1\}$，並且定義多項式$P_{1}$的度數是$d$。那麼顯然對於$u_{n}(q)$，極限$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{n^d\mu_{1}^{n}}$存在。
（ 同時也觀察到如果$max_{i=1...r}|\mu_{i}|$是小於$1$的話，那麼$u_{n}(q)$是趨於$0$的，對於足夠大的$n$，$u_{n}(q)=0$，但此時$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{n^d\mu_{1}^n}$，一個典型的反例就是如果存在$j>1$，使得$|\mu_{1}|=....=|\mu_{j}|>max_{i=j+1,...,r}|\mu_{i}|$，有可能會出現振盪間斷而不存在極限。）

假設：集合$\mathscr L_{∞}$對於所有狀態$q$都是不可數的，當且滿足以下的條件之一：
(1)：$\exist N_{q} \in \mathbb N:\forall n > N_{q}，u_{n}(q)=0$
(2)：$\exist \theta_{q}\geq 1,P_{q}(x)\in \mathbb R[x],b_{q}>0:\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}=b_{q}$
記號：由於討論的是$\mathscr L_{∞}$，對於$q=s$的情形，必定不會出現$(1)$這種情形，這裏用$\theta,P,a_{s}$分別指代$\theta,P_{s},b_{s}$。
結論1：對於$(2)$中的每個狀態$q$，要麼$\theta_{q}<\theta$或者$\theta_{q}=\theta並且d(P_{q})\leq d(P)$。簡單地說，就是$u_{q}(n)$一定會被$u_{s}(n)$所限制。
證明：假設存在$\theta_{q}>1並且P_{q}(x)\in \mathbb R[x]$使得$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}=b_{q}$，並且$\frac{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}{P(n)\theta^{n}}$是不收斂的。
因爲存在常數$i$使得$u_{n}(s)>u_{n-i}(q)$。
所以$\frac{u_{n}(s)}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}\geq\frac{u_{n-i}(q)}{P_{q}(n-i)\theta_{q}^{n-i}} \frac{1}{\theta_{q}^{i}}\frac{P_{q}(n-i)}{P_{q}(n)}\rightarrow \frac{b_{q}}{\theta_{q}^{i}}>0$
然而$\frac{u_{n}(s)}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}=\frac{u_{n}(s)}{P(n)\theta^{n}}\frac{P(n)\theta^{n}}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}$是趨於$0$的
這兩者是矛盾的，因此假設不成立。

結論2：對於每個$q$極限$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{P(n)\theta^{n}}$都是存在的，並且把這個極限記爲$a_{q}$。
實際上，$\frac{u_{n}(q)}{P(n)\theta^{n}}=\frac{u_{n}(q)}{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}\frac{P_{q}(n)\theta_{q}^{n}}{P(n)\theta^{n}}$
前面一部分就是$b_{q}$，後面一部分由上面證明要麼就是分子低階，極限就是$0$，要麼就是同階，$a_{q}$就是$b_{q}$乘上一個常數，這裏不多贅述。

一些極限

根據前文，$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{val_{S}(w_{n})}{v_{|w_{n}|}}=\lim_{n\rightarrow ∞}\frac{\sum_{i=0}^{n}\beta_{q,n-i}(w)u_{i}(q)}{v_{n}(s)}$
定理5：如果$q$是$M_{l}$的一個狀態且有$a_{q}>0$，那麼有：
(1)：$\frac{\sum_{i=0}^{n}u_{i}(q)}{\sum_{i=0}^{n}u_{i}(s)}=\frac{a_{q}}{a_{s}}$
(2)：$\frac{u_{n}(q)}{\sum_{i=0}^{n}u_{i}(q)}=\frac{\theta-1}{\theta}$
(3)：$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{\sum_{i=0}^{n}\beta_{q,n-i}u_{i}(q)}{u_{n}(q)}=\sum_{j=0}^{∞}\beta_{q,j}\theta^{-j}$
證明：
第一步：$a_{q}>0$：
記$P$的度爲$r$，有$P=\alpha n^{r}+Q(n)$，顯然$d(Q(n))<r$並且$\alpha>0$，那麼存在：
$\frac{u_{n}(q)}{\alpha n^{r}\theta^{n}}-\frac{u_{n}(q)}{P(n)\theta^{n}}=\frac{u_{n}(q)Q(n)}{P(n)\theta^{n}\alpha n^{r}}\rightarrow0$
因爲有$\frac{u_{n}(q)}{P(n)\theta^{n}}\rightarrow a_{q}$
改寫爲$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{u_{n}(q)}{n^{r}\theta^{n}}=a_{q}$
對狀態$p\in\{q,s\}$，一定存在$(\alpha_{p,n})$收斂到$1$，滿足$u_{n}(p)=\alpha_{p,n}a_{p}n^{r}\theta^{n}$。而且對於$k>1$，一定存在$K>1$使得，當$n>K$一定有$\alpha_{s,n},\alpha_{q,n}\in [1-\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}]$
$(1),(2)$易證。
現在證明$(3)$：
令$z_{n}=\frac{\sum_{i=0}^{n}\beta_{q,n-i}u_{i}(q)}{u_{n}(q)}$.
對於$\epsilon>0$，我們給出$z_{n}$的一個上界。
$z_{n}\leq\frac{\sum_{i=0}^{K}\beta_{q,n-i}u_{i}(q)}{u_{n}(q)}+\frac{a_{q}\sum_{i=K+1}^{n}\beta_{q,n-i}\alpha_{q,i}i^{r}\theta^{i}}{a_{q}\alpha_{q,n}n^{r}\theta^{n}}$
$\leq\frac{k+1}{k-1}\sum_{i=K+1}^{n}\beta_{q,n-i}(\frac{i}{n})^{r}\theta^{i-n}+\frac{\sum_{i=0}^{K}\beta_{q,n-i}u_{i}(q)}{u_{n}(q)}$
$\sum_{i=K+1}^{n}\beta_{q,n-i}(\frac{i}{n})^{r}\theta^{i-n}=\sum_{i=0}^{n-K-1}\beta_{q,i}(1-\frac{i}{n})^{r}\theta^{-i}=\sum_{i=0}^{n-K-1}\beta_{q,i}\theta^{-i}+\sum_{j=1}^{r}C_{r}^{j}n^{-j}\sum_{i=0}^{n-K-1}\beta_{q,i}(-i)^{j}\theta^{-i}$。
對於第二項：我們注意到級數$\sum_{i=0}^{∞}\beta_{q,i}\theta^{-i}$是連續可微並且可以逐項微分。
所以有$(\theta\frac{\theta}{d\theta})^{j}\sum_{i=0}^{∞}\beta_{q,i}\theta^{-i}=\sum_{i=0}^{∞}\beta_{q,i}(-i)^{j}\theta^{-i}$，顯然左邊式子是收斂的。
可以發現小於等於號右邊全部收斂。
對於$\epsilon>0$，我們給出$z_{n}$的一個下界。
$z_{n}\geq(1-\frac{2}{k+1})\sum_{i=0}^{n-K-1}\beta_{q,i}(1-\frac{i}{n})^{r}\theta^{-i} \geq\sum_{i=0}^{n}\beta_{q,i}\theta^{-i}-\sum_{i=n-k}^{n}\beta_{q,i}\theta^{-i}+\xi_{n}-\frac{2}{k+1}\sum_{i=0}^{∞}\beta_{q,i}\theta^{-i}-\frac{2\xi_{n}}{k+1}$，
同樣也是收斂的，結論得到證明。

定理6：$\lim_{n\rightarrow∞}{\frac{v_{n-1}(s)}{v_{n}(s)}}=\frac{1}{\theta}$
證明：$\frac{v_{n-1}(s)}{v_{n}(s)}=1-\frac{u_{n}(s)}{v_{n}(s)}\rightarrow1-\frac{\theta-1}{\theta}$

定理7：$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{val_{S}(w_{n})}{v_{|w_{n}|}}=\frac{\theta-1}{\theta^2}\sum_{q\in K}\frac{a_{q}}{a_{s}}\sum_{j=0}^{∞}\beta_{q,j}\theta^{-j}$
證明：$\sum_{q\in Q}\frac{\sum_{i=0}^{|w_{n}|-1}\beta_{q,|w_{n}|-i-1}u_{i}(q)}{u_{|w_{n}|-1}(q)}\frac{u_{|w_{n}|-1}(q)}{\sum_{i=0}^{|w_{n}|-1}u_{i}(q)}\frac{\sum_{i=0}^{|w_{n}|-1}u_{i}(q)}{\sum_{i=0}^{|w_{n}|-1}u_{i}(s)}\frac{\sum_{i=0}^{|w_{n}|-1}u_{i}(s)}{\sum_{i=0}^{|w_{n}|}u_{i}(s)}$
應用定理5和定理6即可證明。

綜上所述，證明了極限$\lim_{n\rightarrow∞}\frac{val_{S}(w_{n})}{v_{|w_{n}|}}$的存在性。