第 9 章 中位數和順序統計量

　　在一個由n個元素組成的集合中，第i個順序統計量是該集合中第i小的元素。例如，在一個元素集合中，最小值是第 1 個順序統計量，最大值是第n個順序統計量（i=n）。用非形式化的描述來說，一個中位數是它所屬集合的“中點元素”。當n爲奇數時，中位數是唯一的，位與i=（n+1）/2.當n爲偶數時，存在兩個中位數，分別位與i=n/2和i=n/2+1.因此，如果不考慮n的奇偶性，中位數總是出現在i=⌊(n+1)/2⌋處（下中位數）和i=⌈（n+2)/2⌉處（上中位數）。本書中所用的中位數都是指下中位數。
　　本章將討論從一個有n個互異的元素構成的集合中選擇第i個順序統計量的問題。假設集合中的元素都是互異的，將這一問題形式化定義爲如下的選擇問題：
　　輸入：一個包含n個（互異的）的數的集合A和一個整數i，1<= i <= n.
　　輸出：元素x∈A，且A中恰好有i-1個其他小於小於它。
　　我們可以利用堆排序和歸併排序在O(nlgn)時間內解決這個問題，本章介紹一些更快的方法。

9.1 最小值和最大值

下面的程序中，我們假設該集合存放在數組A中，且A.length=n
MINIMUM（A）

min = A[1]
for i = 2 to A.length
    if min > A[i]
        min = A[i]
return min

爲了確定最小值，必須要做n-1次比較。因此從所執行的比較次數來看，算法MINMUM是最優的。
同時找到最小值和最大值
分別獨立地找出最小值和最大值，共需2n-2次比較
事實上，我們只需要最多3⌊n/2⌋次比較就可以同時找到最小值和最大值。具體方法是記錄已知的最小值和最大值，對輸入元素成對地進行處理。首先將一對輸入元素相互比較，然後把較小的與當前最小值比較，較大的與當前最大值比較。這樣對每兩個元素共需3次比較。
如果n是奇數，就把最小值和最大值的初始值都設爲第一個元素的值，然後成對處理餘下的元素。如果n是偶數，就對前兩個做一次比較，然後成對處理。

9.2 期望爲線性時間的選擇算法

　　一般選擇問題看起來要比找最小值這樣的問題更難，但是這兩個問題的漸近運行時間都是θ（n）。本節介紹一種解決選擇問題的分治算法。RANDOMIZED-SELECT算法以快速排序算法爲模型，將輸入數組進行遞歸劃分，與快速排序不同的是，快速排序會遞歸處理劃分的兩邊，而RANDOMIZED-SELECT只處理劃分的一邊。這一差異會在性能分析中體現出來：快速排序的期望運行時間是θ（nlgn），而RANDOMIZED-SELECT的期望運行時間爲θ（n）。這裏，假設輸入數據都是互異的。
　　RANDOMIZED-SELECT利用了7.3節介紹的RANDOMIZED-PARTITION過程。與RANDOMIZED-QUICKSORT一樣，它的部分行爲是由隨機數生成器的輸出決定的，所以RANDOMIZED-SELECT也是一個隨機算法。以下是僞代碼，它返回數組A[p..r]中第i小的的元素。
RANDOMIZED-SELECT（A, p, r, i)

if p == r
    return A[p]
q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
k = q-p+1
if i == k
    return A[q]
else if i <　ｋ
    return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q-1, i)
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q+1, r, i-k)

　　RANDOMIZED-SELECT的最壞情況運行時間爲θ（n2) ,期望運行時間爲O(n)。得出結論：假設所有元素都是互異的，在期望運行時間內，可以找到任一順序統計量，特別是中位數。

9.3 最壞情況爲線性時間的選擇算法

　　像RANDOMIZED-SELECT一樣，SELCT算法通過對輸入數組的遞歸劃分找出所需元素，但是，在該算法中能夠保證得到對數組的一個好的劃分。SELECT使用的也是快速排序算法的確定性劃分算法PARTITION。但做了修改，把劃分的主元也作爲輸入參數。
　　通過執行下列步驟，算法SELECT可以確定一個有n>1個不同元素的輸入數組中第i小的元素。（如果n=1，則返回它的唯一輸入數值作爲第i小的元素）。
　　

1. 將輸入數組的n個元素劃分爲⌊n/5⌋，每組5個元素，且至多隻有一組由剩下的n mod 5 個元素組成。
2. 尋找這⌈n/5⌉組中每一組的中位數：首先對每組元素進行插入排序，然後確定每組有序元素的中位數。
3. 對第 2 步中找出的⌈n/5⌉箇中位數，遞歸調用SELECT以找出其中位數x（如果有偶數箇中位數，爲了方便，約定x是較小的中位數）
4. 利用修改的PARTITION版本，按中位數的中位數x對輸入數組進行劃分。讓k比劃分的低區中的元素數目多1，因此，x是第k小的元素，並且有n-k個元素在劃分的高區。
5. 如果i=k，則返回x.如果i < k,則在低區遞歸調用SELECT來找出第i小的元素，如果i>k，則在高區遞歸查找第i-k小的元素。
   推論得到算法遞歸式：
   
   T(n)≤{O(1),T(⌈n/5⌉)+T(7n/10+6)+O(n),若n<140 若n≥ 140
   
   這個運行時間是線性的。