一、相關名詞解釋

1. 完全圖

無向圖中任意兩個頂點之間都存在邊，稱爲無向完全圖。 n個頂點，n(n-1)/2 條邊
有向圖中任意兩個頂點之間都存在相反的兩條弧，稱爲有向完全圖。 n個頂點, n(n-1）條邊

2. 連通圖/強連通圖

無向圖 中頂點v到頂點w有路徑存在，稱v和w連通。若任意兩個頂點都連通，連通圖
若一個圖有n個頂點，並且邊數小於n-1，則此圖必是非連通圖
若一個圖有n個頂點，並且邊數大於n-1，則此圖必有迴路
有向圖 中頂點v到頂點w和頂點w到頂點v之間都有路徑，稱v和w 強連通。若任意兩個頂點都連通，強連通圖

3. 連通分量/極大連通子圖

無向圖中極大連通子圖稱爲連通分量；
有向圖中極大連通子圖稱爲強連通分量；

極小連通子圖指該連通子圖既保持圖的連通且包含的邊數最少；

4. 生成樹 (對於連通圖而言）

連通圖的生成樹是 包含全部頂點的一個極小連通子圖（即包含全部頂點且邊數最少）
若砍去生成樹的一條邊，則會變成非連通圖
若加上一條邊，則會形成一個迴路

5. 頂點的入度和出度

無向圖的的全部頂點的度之和等於邊數的2倍
有向圖的全部頂點的入度之和與出度之和相等，且與邊數相等

6. 簡單路徑

序列中的頂點和路徑不重複出現的路徑。

7. 迴路

路徑中第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑

二、圖的存儲

鄰接矩陣法：（稠密圖）

圖的順序存儲結構

一維數組存儲頂點集，二維數組存儲邊集

無向圖的鄰接矩陣第i行（列）非零元素的個數表示該頂點的度
有向圖的鄰接矩陣第i行（列）非零元素的個數表示該頂點的出度（入度）

無向圖的鄰接矩陣是對稱的

鄰接表法：（稀疏圖）

圖的鏈式存儲結構

一個單鏈表表示該頂點的邊表；
各個單鏈表的頭指針和頂點採用順序存儲連接起來表示頂點表

鄰接表可以方便的找出一頂點的所有鄰邊，但確定兩結點之間是否有邊效率低下
在有向圖中，求一個給定結點的出度只需計算鄰接表中結點的個數，但求入度需要遍歷全部頂點的鄰接表

假設有n個頂點，e條邊的有向圖用鄰接表表示，則刪除與某個頂點v相關的所有邊的時間複雜度爲：O(n+e)

首先刪除下標爲v的頂點表結點的單鏈表，邊數最多n-1，時間複雜度O(n)；
再掃描所有邊表結點，刪除所有的頂點v的入邊，時間複雜度O(e)；

十字鏈表

有向圖的另一種鏈式存儲結構。

鄰接多重表

無向圖的鏈式存儲結構。

三、圖的遍歷

廣度優先遍歷BFS（類似於層次遍歷）

基本思想 ：利用 隊列 實現。

首先訪問起始頂點 V 並將其入隊
V出隊，並遍歷V的所有鄰接點 w1，w2，….，wn並依次入隊
w1出隊，並遍歷 w1 的全部鄰接點(不包括已經被訪問的點)
w2出隊，並遍歷w2的全部鄰接點(不包括已經被訪問的點)
… 以此類推

	void BFS(Graph G, int v){
	    visit(v); //訪問初始結點
	    visited[v] = TRUE; //初始結點置已訪問標識
	    EnQueue(Q,v); //頂點v入隊
	    while(!isEmpty(Q)){
	        DeQueue(Q,v); //頂點v出隊
	        for(w = FirstNeighbor(G,v); w>=0; w = NextNeighbor(G,v,w)){ //循環遍歷v所有鄰接點
	            if(!visited[w]){
	                visit(w); //訪問頂點w
	                visited[w] = TRUE;
	                EnQueue(Q, w);
	            }
	        }
	    } //while
	}
	void BFSTraverse(Graph G){
	    for(i = 0; i<G.vexnum; i++)
	        visited[i] = FALSE;
	    InitQueue(Q); //初始化隊列
	    for(i = 0; i<G.vexnum;i++) //防止一次遍歷無法遍歷到全部結點（非連通圖）
	        if(!visited[i]) //若未被訪問
	            BFS(G,i);
}

深度優先遍歷DFS（類似於先序遍歷）

基本思想：利用 遞歸/棧 實現。當不能繼續向下訪問時，依次回退到最近的被訪問結點

首先訪問頂點V，並將其標記爲已訪問
然後訪問與頂點V的其中一個未被訪問的鄰接點W，並將其標記爲已訪問
再訪問W的其中一個未被訪問的鄰接點，並將其標記爲已訪問
依次類推… 當一個頂點所有的鄰接頂點都被訪問過時，則依次退回最近被訪問過的頂點

	void DFS(Graph G, int v){
	    visit(v);
	    visited[v] = TRUE;
	    for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)){
	        if(!visited[v])
	            DFS(G,w); //遞歸
	    }
	}
	void DFSTraverse(Graph G, int v){
	    for(int i = 0 ; i<G.vexnum; i++)
	        visited[v] = FALSE;
	    for(int i = 0; i<G.vexnum; i++)
	        if(!visited[v])
	            DFS(G,i);
}
}

四、圖的應用

1. 最小生成樹

Prim算法

每次選取相對最小的邊並且互相連通。需保證無環

kruskal算法

每次選取最小的邊，無須保證此過程是否連通。需保證無環

2. 最短路徑

Dijkstra算法

該算法可以求得某一頂點到其餘各頂點的最短路徑。

算法思想：

設有兩個頂點集合 S 和 T，其中集合 S 中存放的是圖中已找到最短路徑的頂點，集合 T 中存放的是圖中的剩餘頂點。
初始狀態時，集合 S 中只包含源點 V0，然後不斷從集合 T 中選取到頂點 V0 路徑最短的頂點 Vu 並加入集合 S 中，之後的路徑可通過該結點
集合 S 每加入一個新的頂點 Vu，都要修改 V0 到集合 T 中各個頂點的最短路徑的長度值。
不斷重復這個過程，直至集合T中的頂點全部併入到 S 中爲止。

Floyd算法

每次都試圖在路徑上添加新的中間結點

3. 拓撲排序

什麼圖可以進行拓撲排序？
有向無環圖

基本思想 ：每次去除一個入度爲0的結點和該與頂結點相連的邊

若圖中存在一條A——>B的路徑，則在拓撲排序中表示B事件在A事件的後面

4. 關鍵路徑

具有最大路徑長度的路徑稱爲關鍵路徑

只提高一條關鍵路徑上的關鍵活動速度並不能縮短整個工程的工期，只有加快所有關鍵路徑上的關鍵活動才能縮短工期

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【數據結構複習總結】—— 圖

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