一、相关名词解释

1. 完全图

无向图中任意两个顶点之间都存在边，称为无向完全图。 n个顶点，n(n-1)/2 条边
有向图中任意两个顶点之间都存在相反的两条弧，称为有向完全图。 n个顶点, n(n-1）条边

2. 连通图/强连通图

无向图 中顶点v到顶点w有路径存在，称v和w连通。若任意两个顶点都连通，连通图
若一个图有n个顶点，并且边数小于n-1，则此图必是非连通图
若一个图有n个顶点，并且边数大于n-1，则此图必有回路
有向图 中顶点v到顶点w和顶点w到顶点v之间都有路径，称v和w 强连通。若任意两个顶点都连通，强连通图

3. 连通分量/极大连通子图

无向图中极大连通子图称为连通分量；
有向图中极大连通子图称为强连通分量；

极小连通子图指该连通子图既保持图的连通且包含的边数最少；

4. 生成树 (对于连通图而言）

连通图的生成树是 包含全部顶点的一个极小连通子图（即包含全部顶点且边数最少）
若砍去生成树的一条边，则会变成非连通图
若加上一条边，则会形成一个回路

5. 顶点的入度和出度

无向图的的全部顶点的度之和等于边数的2倍
有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，且与边数相等

6. 简单路径

序列中的顶点和路径不重复出现的路径。

7. 回路

路径中第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

二、图的存储

邻接矩阵法：（稠密图）

图的顺序存储结构

一维数组存储顶点集，二维数组存储边集

无向图的邻接矩阵第i行（列）非零元素的个数表示该顶点的度
有向图的邻接矩阵第i行（列）非零元素的个数表示该顶点的出度（入度）

无向图的邻接矩阵是对称的

邻接表法：（稀疏图）

图的链式存储结构

一个单链表表示该顶点的边表；
各个单链表的头指针和顶点采用顺序存储连接起来表示顶点表

邻接表可以方便的找出一顶点的所有邻边，但确定两结点之间是否有边效率低下
在有向图中，求一个给定结点的出度只需计算邻接表中结点的个数，但求入度需要遍历全部顶点的邻接表

假设有n个顶点，e条边的有向图用邻接表表示，则删除与某个顶点v相关的所有边的时间复杂度为：O(n+e)

首先删除下标为v的顶点表结点的单链表，边数最多n-1，时间复杂度O(n)；
再扫描所有边表结点，删除所有的顶点v的入边，时间复杂度O(e)；

十字链表

有向图的另一种链式存储结构。

邻接多重表

无向图的链式存储结构。

三、图的遍历

广度优先遍历BFS（类似于层次遍历）

基本思想 ：利用 队列 实现。

首先访问起始顶点 V 并将其入队
V出队，并遍历V的所有邻接点 w1，w2，….，wn并依次入队
w1出队，并遍历 w1 的全部邻接点(不包括已经被访问的点)
w2出队，并遍历w2的全部邻接点(不包括已经被访问的点)
… 以此类推

	void BFS(Graph G, int v){
	    visit(v); //访问初始结点
	    visited[v] = TRUE; //初始结点置已访问标识
	    EnQueue(Q,v); //顶点v入队
	    while(!isEmpty(Q)){
	        DeQueue(Q,v); //顶点v出队
	        for(w = FirstNeighbor(G,v); w>=0; w = NextNeighbor(G,v,w)){ //循环遍历v所有邻接点
	            if(!visited[w]){
	                visit(w); //访问顶点w
	                visited[w] = TRUE;
	                EnQueue(Q, w);
	            }
	        }
	    } //while
	}
	void BFSTraverse(Graph G){
	    for(i = 0; i<G.vexnum; i++)
	        visited[i] = FALSE;
	    InitQueue(Q); //初始化队列
	    for(i = 0; i<G.vexnum;i++) //防止一次遍历无法遍历到全部结点（非连通图）
	        if(!visited[i]) //若未被访问
	            BFS(G,i);
}

深度优先遍历DFS（类似于先序遍历）

基本思想：利用 递归/栈 实现。当不能继续向下访问时，依次回退到最近的被访问结点

首先访问顶点V，并将其标记为已访问
然后访问与顶点V的其中一个未被访问的邻接点W，并将其标记为已访问
再访问W的其中一个未被访问的邻接点，并将其标记为已访问
依次类推… 当一个顶点所有的邻接顶点都被访问过时，则依次退回最近被访问过的顶点

	void DFS(Graph G, int v){
	    visit(v);
	    visited[v] = TRUE;
	    for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)){
	        if(!visited[v])
	            DFS(G,w); //递归
	    }
	}
	void DFSTraverse(Graph G, int v){
	    for(int i = 0 ; i<G.vexnum; i++)
	        visited[v] = FALSE;
	    for(int i = 0; i<G.vexnum; i++)
	        if(!visited[v])
	            DFS(G,i);
}
}

四、图的应用

1. 最小生成树

Prim算法

每次选取相对最小的边并且互相连通。需保证无环

kruskal算法

每次选取最小的边，无须保证此过程是否连通。需保证无环

2. 最短路径

Dijkstra算法

该算法可以求得某一顶点到其余各顶点的最短路径。

算法思想：

设有两个顶点集合 S 和 T，其中集合 S 中存放的是图中已找到最短路径的顶点，集合 T 中存放的是图中的剩余顶点。
初始状态时，集合 S 中只包含源点 V0，然后不断从集合 T 中选取到顶点 V0 路径最短的顶点 Vu 并加入集合 S 中，之后的路径可通过该结点
集合 S 每加入一个新的顶点 Vu，都要修改 V0 到集合 T 中各个顶点的最短路径的长度值。
不断重复这个过程，直至集合T中的顶点全部并入到 S 中为止。

Floyd算法

每次都试图在路径上添加新的中间结点

3. 拓扑排序

什么图可以进行拓扑排序？
有向无环图

基本思想 ：每次去除一个入度为0的结点和该与顶结点相连的边

若图中存在一条A——>B的路径，则在拓扑排序中表示B事件在A事件的后面

4. 关键路径

具有最大路径长度的路径称为关键路径

只提高一条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只有加快所有关键路径上的关键活动才能缩短工期

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【数据结构复习总结】—— 图

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