CSP賽前一週 模板訓練

數論

• 線性篩素數、歐拉函數
• 質因數分解
• 最大公約數&最小公倍數
• 擴展歐幾里得算法
• 線性同餘方程+中國剩餘定理
• 矩陣乘法
• 高斯消元
• 組合計數
• 容斥原理
• 概率&數學期望
• 0/1分數規劃

質因數分解：
N的正約數的和爲：
$(1+p_1+p_1^2+p_1^3+...+p_1^{c_1})*...*(1+p_m+p_m^2+p_m^3+...+p_m^{c_m})$

歐拉定理的推論：
許多計數類問題要求我們把答案對一個質數p取模後輸出。
面對a+b,a-b,a*b，直接在計算前對p取模
a/b,則直接變化做$a*\frac{1}{b}$，對b求逆元
$a^b$，則先把底數對p取模，再把指數對$φ(p)$取模（前提：gcd(a,p)=1）
**若gcd(a,p)!=1，則$b\mod φ（n）+φ（n）$

存在逆元的條件：
$gcd(x,p)==1$
特別地，當P爲質數的時候，x不能是P的倍數
例題SumdivPOJ 1845

異或的性質：
如果a^b^c=e
則有 a=e^b^c
這樣用高斯消元解異或方程組的時候就很妙了

組合計數：
常用性質

圖論

• 最短路（Dijkstra，SPFA，Floyd）
• 最小生成樹
• 樹上操作（樹的直徑、LCA）
• 基環樹
• 負環+差分約束
• Tarjan
• 歐拉路
• 2-SAT
• 二分圖匹配
• 網絡流

最短路

1. 最短路計數【√】
2. 次短路【√】
3. K短路【√】
4. 傳遞閉包【√】
5. 最小環【√】

無向圖の最小環：核心代碼

for(re int k=1;k<=n;++k){
		for(re int i=1;i<k;++i)
			for(re int j=i+1;j<k;++j){
				if(ans>dis[i][j]+a[i][k]+a[k][j])
					ans=dis[i][j]+a[i][k]+a[k][j];
			}
		for(re int i=1;i<=n;++i)
			for(re int j=1;j<=n;++j){
				ll tmp=dis[i][k]+dis[k][j];
				if(tmp<dis[i][j]){
					dis[i][j]=tmp;
					pos[i][j]=k;
				}	
			}	
	}

Floyd這個亂搞求最短路！！根本無法求次短路好伐。所以自己yy的那個做法是不可以的，但正確性應該是可以保證的
有向圖の最小環：可以枚舉起點s，然後求單源最短路徑。s一定是最先從堆中取出來的，掃描s的出邊進行擴展，然後將$dis[s]=inf$，繼續擴展。當s第二次從堆中取出來的時候，答案就是$dis[s]$
最短路計數：果然不能輕視模板啊！！打掛n次。
第一次發現dij板子打錯，粗心忘了標記vis（一般是不會有太大問題的，但是恰恰是計數，問題就很大了）
第二次發現cnt記錯了，應該對於每個點都記錄一下，而不能所有點的答案累加（oh，such a crazy girl）
第三次發現題目有重邊
第四次發現這居然是個有向圖（我要死了）
次短路：

最小生成樹

1. 最小生成樹計數【√】
2. 次小生成樹【√】

可能還需要複習博弈論，分塊