Diary Ⅴ

Well
Time flies
Here come the last week
Are you ready?
Come on !

2019/11/11

1.考試題【√】
2.週末作業【√】
3.模板練習

今天考試
T1 100pts
T2 100pts
T3 10pts
Total:210pts
最高：260pts

T1 簽到題
T2 組合數學（打表找規律）
但是正解真的很棒啊
設選出來的數從小到大爲$a1,a2,a3...,am$，考慮令𝑏𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑖，我們會發現，b中全是偶數並且兩兩互不相同，一個b唯一對應一個a那麼問題等價於從1到n+m中選擇m個偶數的方案數這個顯然就是從1到⌊n+m2⌋中選m個數

T3 線段樹
emmm……本來也想到了qn的做法，但是沒有處理好。最後直接交了一個qn²logn的，拿了10pts
改了一發暴力
其實不需要像我之前那樣把每個區間取出來，直接在線段樹上做，就可以計算父親對它的影響了

WOJ#4814學園祭的樂隊
一拿到題就jio得這是個dp，結果lsr說我還是太naive了
數據範圍那麼大1e6，怎麼可能是dp
考慮計算每個1的貢獻（也就是有多少的概率會在當前位置停下）
發現最後的染色方案（也就是換弦）一定是一個排列，$p_i$表示$i$在$p_i$這個位置被換了
相當於就是求有多少個排列
考慮一個排列 p 如果要在第 k 個位置上的 1 結束，那麼 pk ≥ k，且對於之前所有位
置是 1 的位置 i, 要滿足 pi < i，從左到右考慮每一個爲 1 的位置。
設 ai 爲第 i 個 1 的出現位置，在第 k 個 1 處結束的合法的排列的方案數就是$(n-k)!(n-a_k+1)\prod_{i=1}^{k-1}(a_i-i)$

對於最後一個位置，只要能夠走到，就需要計算入答案

WOJ#4814 生與死的境界
哇，好一個貪心！
考慮合併的時候新的貢獻爲$x+2*y$,對於前面那個數相當於沒有改變，只是後面那個數對答案的貢獻有變化
一個顯然的貪心，對於正數，我們一開始就把它往前合併（這樣係數肯定更大）。對於負數，我們就放到最後，等前面的都合併完了，再處理它。
由於我們最多合併n次，所以複雜度是沒問題的（一開始把每個數都當做一個獨立的塊，每次合併最多減少一個塊，總共合併n次）
詢問離線處理，整塊直接調用答案，散塊hash計算

最後一週了，我還想做：
NOIP真題做完
模板複習到位
學習自己的博客（既然時間不允許我重做以前的考試題了，那就看看以前的博客）

粗略計劃如下：
週二：複習數論模板+靶形數獨
週三：複習圖論+動態規劃
週四：複習字符串+博客
週五：複習數據結構+博客

2019/11/12

WOJ#1846 靶形數獨
就是想寫搜索

今天考試
T1 40pts
T2 30pts
T3 10pts
Total：80pts
最高：250pts

T1
推了一個小時，沒有想到結論。。
lsr的優秀暴力：
首先肯定可以建一顆trie樹，然後就考慮在這個樹上瞎搞。。思考一下前序遍歷、後序遍歷、中序遍歷，，發現，啊……都不可以。DFS好像可以？？爲什麼嘞？因爲DFS遍歷下去，相同的前綴一定是單調不減的。題目限制就滿足咯~
但這樣爲什麼只是暴力呢
顯然Trie樹是開不下1e7的
我們把在Trie樹上的dfs遍歷特殊化，其實按字典序來就可以了
感性理解一下，字典序是比較兩個字符串第一個不同的值的大小（越靠近的兩個數肯定相似度越高）

T2
接近正解了，只是沒有繼續優化二分
（我記得我開了-Wall的啊……一定要用！long long輸出居然用%d？？？）
希望在小於O(n)的時間內求出每個 t 需要減去的 x 的數量
寫成數學表達形式
$\Sigma\lceil{\frac{t_i-len}{x}}\rceil$
然後你發現這個東西沒有辦法直接變成 $\lceil\frac{t_i}{x}\rceil-\lceil\frac{len}{x}\rceil$
怎麼辦呢
手玩幾組數據試一下
發現 $\lceil\frac{t_i}{x}\rceil-\lfloor\frac{len}{x}\rfloor$是肯定被包含在答案內的，然後就是一個是否 - 1 的判斷了
需要-1的就是 滿足$t_i\%x\le (mid+s)\%x$
主席樹搞一下即可（求某個區間內小於等於某個數的個數）

T3 組合計數
比較簡單的一道組合計數。。
結果我入坑dp（明明都知道那是暴力，還沒寫出來？？）

BZOJ#1257 餘數之和
發現$k\mod i=k-\lfloor\frac{k}{i}\rfloor*i$（式子的轉化！）
然後我們所求的東西就可以提做：$n*k-\Sigma_{i=1}^{n}\lfloor\frac{k}{i}\rfloor*i$
然後就很好玩了(๑′ᴗ‵๑)
考慮如何快速地求解後半部分
顯然$i$在某一區間範圍內時$\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$是一個定值
那我們直接根據這個劃分區間（不超過$2\sqrt k$個區間）
區間爲$[x,k/(k/x)]$
感性理解一下

BZOJ#1053 反素數
搜索（剪枝不會。。）

慢慢發現
題目給出的式子，大多數情況下都是不可計算的。。
需要自己靠腦子轉化呀(￣▽￣)~*

POJ#3696 The Luckiest Number
好妙啊！
首先x個8連在一起構成的正整數可以表示爲$8*\frac{1}{9}*(10^x-1)$（適當擴展一下，其實8可以換成任意數字）
現在我們需要求滿足$L|8*\frac{1}{9}*(10^x-1)$的最小x
來一波推導
令$d=gcd(L,8)$
得到：$\frac{9L}{d}|(10^x-1)$
也就是說$10^x \equiv 1(mod\frac{9L}{d})$
然後根據某種不知名的引理，可以得到
滿足$a^x\equiv1(\mod n)$的最小正整數$x_0$是φ（n）的約數（證明見算法競賽page 146）
注意判斷一下快速冪的時候直接相乘會不會爆long long（要用快速乘）

2019/11/13

CH3401 石頭遊戲 矩陣快速冪
狀態矩陣一般都是一維的
所以我們將一開始的石頭矩陣，拉成一維的
然後由於每個格子的操作序列是獨立的，但每個長度都不超過6
所以在60次操作後，所有的格子的操作序列都會重置爲原序列
我們就處理出1~60次的轉移矩陣，然後將t=q*60+r

BZOJ#1951 古代豬文
哇，超級大好題（巨經典）
包含了Excrt，Exgcd，Lucas等一系列數論模板操作！
先用歐拉定理對指數取模
然後用中國剩餘定理求解大質數的取模操作

什麼事情都還沒做，，，我還沒開始複習圖論啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！破爛數論！！！！我我我我我我。。。。

現在：
古代豬文。【√】
錯誤總結。【半√】有點水
圖論複習。

2019/11/14

CSP退役前最後一考
T1 100pts
T2 70pts
T3 25pts
Total：195pts
最高：270pts

心態把握還行。主要是部分分給的很足。
雖然11：00才調完T1，但還好穩住了沒有慌。儘量做到了仔細地把暴力敲完，希望CSP的時候也可以穩住（姑娘你可以的！）

T1 最短路
跑10個最短路，然後dfs

T2
注意到了葉子結點數<=10，但仍然不會做
主要是鏈上的情況都不會處理，更不用說將葉子兩兩組合起來變樹爲鏈
對於鏈上的情況，我們考慮增量構造
當前加入的數如果爲u，則u之後的序列一定分爲了若干段，每一段的前綴Gcd相同，而我們至多有Log（n）段（考慮每次gcd的變化最少除以2，最多除以log次）
然後就暴力修改合併即可
至於如何把樹變成鏈，由於葉子結點非常的少，我們直接暴力將每個葉子結點作爲根

T3
好妙的一個dp啊
$f[i][j]$表示處理了前i個位置，已經分了j個塊的方案數
考慮當前的第i個位置
有兩種入邊，兩種出邊
一共四種情況

WOJ#4133 小C的序列
增量構造，鏈表維護相同的一段gcd

caicai 15928837680
考前開-Wall -Wextra 自動保存

下午改題+WOJ#4133 小 C 的序列
複習圖論

任務：

1. 次小生成樹【√】
2. 企鵝棋【√】–>抄std
3. 觀光公交（ldx太棒啦）

最後的任務：
1.數列分塊2，3【√】
2.線段樹分治【✓】
3.博客複習&字符串的操作&CSP下發文件
4.總結一下

數列分塊2
給出一個長爲 n 的數列，以及 n 個操作，操作涉及區間加法，詢問區間內小於某個值 x 的元素個數。
因爲需要小於某個值x的元素個數，如果塊內的元素是有序的，那不就可以直接二分了嗎~~

數列分塊 3
給出一個長爲 n 的數列，以及 n 個操作，操作涉及區間加法，詢問區間內小於某個值 x 的前驅（比其小的最大元素）。
將分塊2中的二分稍微變一下即可

博客複習：
1.dp
2.圖論
3.Diary