轉自http://book.51cto.com/art/201108/287089.htm 很好的一篇詳細數學分析快排複雜度的文章～
我們來分析一下快速排序法的性能。快速排序的時間性能取決於快速排序遞歸的深度，可以用遞歸樹來描述遞歸算法的執行情況。如圖9‐9‐7所示，它是{50,10,90,30, 70,40,80,60,20}在快速排序過程中的遞歸過程。由於我們的第一個關鍵字是50，正好是待排序的序列的中間值，因此遞歸樹是平衡的，此時性能也比較好。
在最優情況下，Partition每次都劃分得很均勻，如果排序n個關鍵字，其遞歸樹的深度就爲.log2n.+1（.x.表示不大於x的最大整數），即僅需遞歸log2n次，需要時間爲T（n）的話，第一次Partiation應該是需要對整個數組掃描一遍，做n次比較。然後，獲得的樞軸將數組一分爲二，那麼各自還需要T（n/2）的時間（注意是最好情況，所以平分兩半）。於是不斷地劃分下去，我們就有了下面的不等式推斷。
- T（n）≤2T（n/2） +n，T（1）=0
- T（n）≤2（2T（n/4）+n/2） +n=4T（n/4）+2n
- T（n）≤4（2T（n/8）+n/4） +2n=8T（n/8）+3n
- ……
- T（n）≤nT（1）+（log2n）×n= O(nlogn)
也就是說，在最優的情況下，快速排序算法的時間複雜度爲O(nlogn)。
在最壞的情況下，待排序的序列爲正序或者逆序，每次劃分只得到一個比上一次劃分少一個記錄的子序列，注意另一個爲空。如果遞歸樹畫出來，它就是一棵斜樹。此時需要執行n‐1次遞歸調用，且第i次劃分需要經過n‐i次關鍵字的比較才能找到第i個記錄，也就是樞軸的位置，因此比較次數爲
，最終其時間複雜度爲O(n2)。
平均的情況，設樞軸的關鍵字應該在第k的位置（1≤k≤n），那麼：
由數學歸納法可證明，其數量級爲O(nlogn)。
就空間複雜度來說，主要是遞歸造成的棧空間的使用，最好情況，遞歸樹的深度爲log2n，其空間複雜度也就爲O(logn)，最壞情況，需要進行n‐1遞歸調用，其空間複雜度爲O(n)，平均情況，空間複雜度也爲O(logn)。
可惜的是，由於關鍵字的比較和交換是跳躍進行的，因此，快速排序是一種不穩定的排序方法。