1327E Count The Blocks（組合數學）

1327E Count The Blocks（組合數學）

題面

題意： 對於一個數字串 $x$，可以看做是由多個連續相同的數字塊組成的，比如 $x = 00027734000$，其長度爲 $3$ 的數字塊有兩個（$000$、$000$），長度爲 $2$ 的數字塊有一個（$77$），長度爲 $1$ 的數字塊有 $3$ 個（$2$、$3$、$4$）。現在給整數 $n$，表示有 $0$ 到 $10^n-1$ 共 $10^n$ 個數字，現在要求這些數字中長度爲 $i \le [1, n]$ 的數字塊的個數，答案對 $998244353​$ 取模。

範圍：$1 \le n \le 2e5$

分析：直接枚舉所有的數字進行統計肯定是不行的，根據數據範圍應該需要對每種長度的數字塊，通過公式計算出其數量。

因爲數字塊是連續相同的數字，因此可以直接看做是一個點。比如當前 $n = 4，i = 4$，相當於 $n = 1, i = 1$，總方案數爲 $10$（$0,1,2,3...9$），對應 （$0000,1111,2222,...9999$）。若當前 $n = 4, i = 2$，相當於 $n = 3, i = 1$…因此這些問題都可以轉換成 $n = x, i = 1$ 的情況。

那麼我們只要求當 $n = x,i = 1$ 的答案。

例如 $n = 4, i = 1​$。

① 這個點在第一位，那麼方案數爲 $10*9*10*10$

② 這個點在第二位，那麼方案數爲 $10*9*9*10$

③ 這個點在第三位，那麼方案數爲 $10*9*9*10​$

④ 這個點在第四位，那麼方案數爲 $10*9*10*10$

我們可以發現除了兩端的點，中間位置的方案數都相同，可以只計算一次。

對於中間位置的點，該點的數字方案有 $10$ 種，與之相鄰的兩個點方案數爲 $9$，其餘點的方案數爲 $10$，故方案數爲 $10*9*9*10^{n-3} = 81*10^{n-2}$，而中間位置的點有 $n-2$ 個，所以中間所有位置的總方案爲 $(n-2)*81*10^{n-2}$。

對於兩端的點，該點的數字方案有 $10$ 種，與之相鄰的一個點方案數爲 $9$，其餘點的方案數爲 $10$，故方案數爲 $10*9*10^{n-2} = 9*10^{n-1}$，有左右兩個端點，所有總方案數爲 $18*10^{n-1}$。

因此，對於所有的長度 $i$，我們都可以用上述的公式在 $O(1)$ 的時間內算出其方案數，總體時間複雜度爲 $O(n)​$。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 998244353;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1.0);

int n;

inline int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
    {
        if (ch == '-')
            w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return s * w;
}

int num[MAXN];

signed main()
{
    // 預處理一下，也可以不預處理
    num[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++)
    {
        num[i] = num[i - 1] % MOD * 10 % MOD;
    }
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (i > 1)
            cout << " ";
        int len = n - i + 1;  // 區間縮點後總點數
        int ans;
        // 2個點以上套公式
        if (len >= 2)
        {
            ans = (len - 2) % MOD * 81 % MOD * num[len - 2] % MOD + 18 * num[len - 1] % MOD;
        }
        // 1個點只有10種方案數
        else
        {
            ans = 10;
        }
        cout << ans % MOD;
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【END】感謝觀看