luoguP4548 [CTSC2006]歌唱王國

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題解

我參考了這篇題解：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10649150.html

設長度爲$i$且剛好匹配成功的概率爲$f_i$，那麼答案就是$\sum_{i=1}^\infin if_i$

設長度爲$i$且還沒停止的概率爲$g_i$

首先$f_0=0, g_0=1$

這兩個序列的生成函數分別記爲$F(x),G(x)$

那麼$f_{i+1}+g_{i+1} = g_i$，解釋一下這個式子：在長度爲$i$且還未匹配成功的串後面隨機加一個數，結果得到一個長度爲$i+1$的串，這個串要麼還是沒匹配成功、要麼剛好匹配成功

上面的遞推式也就是下面這個式子：
$\begin{matrix} F(x) + G(x) = 1 + xG(x) & (1) \end{matrix}$

再引入一個遞推式：

$g_{j}(\frac{1}{n})^L = \sum_{i=0}^L [s[1...i]\ is\ border] f_i (\frac{1}{n})^{L-i}$

這個式子所講的事情就是：我在一個長度爲$j$的未匹配上的字符串後面強行放一個模式串，那麼肯定就匹配成功了，只不過在匹配成功之後可能還多加了幾個字符。假設我放到第$i$個字符的時候就已經匹配完了，那麼這個時候對應的就是$f_i$，但是後面又多出來$L-i$個，所以就有$(\frac{1}{n})^{L-i}$這個係數。另外，發生這種情況肯定得滿足“這$i$個字符必然同時是模式串的後綴和前綴”，也就是式子中所寫的$[s[1...i]\ is\ border]$。

寫成生成函數的式子：

$\begin{matrix} G(x)(\frac{1}{n})^{L}x^L = \sum_{i=0}^L [s[1...i]\ is\ border] F(x) (\frac{1}{n})^{L-i}x^{L-i} & (2) \end{matrix}$

現在，我們要求的是$F'(1)$

對第一個式子兩邊求導，得到$F'(x) + G'(x) = xG'(x) + G(x)$，然後帶入$x=1$，得到$F'(1)=G(1)$

根據概率的定義，我們有$F(1)=1$

將$x=1$帶入式子$(2)$，得到$G(1) = \sum_{i=0}^L [s[1...i]\ is\ border]n^i$

所以這題就是個$kmp$裸題

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 100010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define drep(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
#define mod 10000
struct EasyMath
{
    ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];
    bool mark[maxn];
    ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(1ll);
        for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
        return ans;
    }
    void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        ll xx, yy;
        exgcd(b,a%b,xx,yy);
        x=yy, y=xx-a/b*yy;
    }
    ll inv(ll x, ll p)  //p是素數
    {return fastpow(x%p,p-2,p);}
    ll inv2(ll a, ll p)
    {
        ll x, y;
        exgcd(a,p,x,y);
        return (x+p)%p;
    }
    void shai(ll N)
    {
        ll i, j;
        for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
        *prime=0;
        phi[1]=mu[1]=1;
        for(i=2;i<=N;i++)
        {
            if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;
            for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
            {
                mark[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    ll CRT(vector<ll> a, vector<ll> m) //要求模數兩兩互質
    {
        ll M=1, ans=0, n=a.size(), i;
        for(i=0;i<n;i++)M*=m[i];
        for(i=0;i<n;i++)(ans+=a[i]*(M/m[i])%M*inv2(M/m[i],m[i]))%=M;
        return ans;
    }
}em;
struct KMP  //所有傳進的字符串都要封尾(len+1的位置放一個0)
{
    int n, next[maxn], t[maxn];
    void clear()
    {
        cl(next), n=0, cl(t);
    }
    void build()
    {
        int i, j=0;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            for(;j and t[j+1]!=t[i];j=next[j]);
            next[i] = t[j+1]==t[i]?++j:0;
        }
    }
    int move(int pos, int x)
    {
        for(;pos and t[pos+1]!=x;pos=next[pos]);
        return t[pos+1]==x ? pos+1 : 0;
    }
}kmp;
int main()
{
    int n=read(), m=read();
    while(m--)
    {
        int ans=0, i, len=read();
        kmp.clear();
        rep(i,1,len)kmp.t[i]=read();
        kmp.n=len;
        kmp.build();
        i=len;
        while(i)
        {
            de(i);
            ans = (ans +  em.fastpow(n,i,mod) )%mod;
            i = kmp.next[i];
        }
        printf("%04d\n",ans);
    }
    return 0;
}