用 python 做 z 檢驗，t 檢驗

Python 中的假設檢驗一般用到 scipy 或 statsmodels 包，需要注意的是，這兩個包裏面各種檢驗的置信度都是 0.05。

1. z 檢驗

對於大樣本數據（樣本量 $\geq$ 30），或者即使是小樣本，但是知道其服從正態分佈，並且知道總體分佈的方差時，需要用 z 檢驗。在 python 中，由於 scipy 包沒有 z 檢驗，我們只能用 statsmodels 包中的 ztest 函數。ztest 函數的一般用法如下：

	ztest(x1, x2=None, value=0, alternative=`two-sided’)
輸入參數：
x1	數組，第一個樣本的數據值
x2	數組，第二個樣本的數據值，默認沒有值
value	浮點型數值，若是單樣本，則 value 是樣本假設的均值
	若是雙樣本，則 value是兩個樣本均值的差值
alternative	若爲 `larger’，備選假設 H1 大於 value 值
	若爲 `smaller’，備選假設 H1 小於 value 值
輸出參數：
tstats	統計量值
pvalue	p 值

假設有下面表格的數據：

23	36	42	34	39	34	35	42	53	28	49	39
46	45	39	38	45	27	43	54	36	34	48	36
47	44	48	45	44	33	24	40	50	32	39	31

檢測其均值是否爲 39， 該問題顯然是一個雙側檢驗，由於樣本個數大於 30，則使用 z 檢驗，python 代碼如下：

 >>> import statsmodels.stats.weightstats as sw
 >>> arr=[23,36,42,34,39,34,35,42,53,28,49,39,
 ... 46,45,39,38,45,27,43,54,36,34,48,36,
 ... 47,44,48,45,44,33,24,40,50,32,39,31]
 >>> sw.ztest(arr, value=39)
 (0.3859224924939799, 0.6995540720244979)

從 ztest 的運行結果可以看出，統計量值爲 0.385，而 p 值是 0.699，在置信度 $\alpha=0.05$ 時，由於 p 值大於 $\alpha$，接受原假設，認爲該樣本的均值是 39。

若要檢測該樣本均值是否大於 39，即原假設 H0：$\mu>39$，備選假設爲：$\mu\leq 39$，則我們需要在代碼中增加一個參數 alternative=``smaller”：

>>> sw.ztest(arr, value=39, alternative="smaller")
(0.3859224924939799, 0.650222963987751)

檢測結果的 p 值爲 0.650，大於置信度 0.05，則接受原假設，認爲樣本均值大於39。假設另外一個樣本 2 的數據：

41	34	36	32	32	35	33	31	35	34
37	34	31	36	37	34	33	37	33	38
38	37	34	36	36	31	33	36	37	35
33	34	33	35	34	34	34	35	35	34

檢測兩個樣本的均值是否相等，因爲兩個樣本都是大樣本，使用 z 檢驗， python 代碼如下：

>>> arr2 = [41, 34, 36, 32, 32, 35, 33, 31, 35, 34,
... 37, 34, 31, 36, 37, 34, 33, 37, 33, 38,
... 38, 37, 34, 36, 36, 31, 33, 36, 37, 35,
... 33, 34, 33, 35, 34, 34, 34, 35, 35, 34]
>>> sw.ztest(arr, arr2, value=0)
(3.775645601380307, 0.0001595937672736755)

從 ztest 的檢驗結果可以看出，p 值小於 0.05， 則拒絕原假設，認爲兩個樣本的均值不相等。

2. t 檢驗

小樣本（樣本量小於30個），一般用 t 檢驗。對於 t 檢驗，可以根據樣本特點，用 scipy 包中的 ttest_1sample（單樣本 t檢驗函數），ttest_ind（兩個獨立樣本的 t 檢驗），ttest_rel （兩個匹配樣本的 t 檢驗）。但這些函數得到都是雙側 t 檢驗的 p 值。如果是單側檢驗，我們還要進行一些換算，得到單側檢驗的 p 值。

ttest_1sample 函數的語法爲：

	ttest_1samp(a, popmean)
輸入參數：
a	數組，樣本的數據值
popmean	原假設 $H_0$ 中樣本的期望值
輸出參數：
tstats	統計量值
pvalue	p 值

下面是一個樣本的數據：
$99.3\quad 98.7\quad 100.5\quad 101.2\quad 98.3\quad 99.7\quad 99.5\quad 102.1\quad 100.5$

檢測樣本均值是否等於100，對其進行雙側 t 檢驗的語法爲：

>>> import scipy.stats as st
>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> st.ttest_1samp(a, 100)
Ttest_1sampResult(statistic=-0.054996133220328265, pvalue=0.9574902045208937)

從結果可以看出，雙側檢驗的 p 值爲 0.95， 大於置信度 0.05，因此接受原假設，認爲樣本的均值是100。若是單側檢驗中的左側檢驗，則 p 值爲 $0.957/2=0.4785$，若是右側檢驗，則 p 值爲 $1-0.957/2=0.5215$。

假設有另外一個樣本的數據：
$91.1\quad 93.7\quad 93.6\quad 96.1\quad 94.3\quad 92.2\quad 94.0\quad 95.7\quad 97.1$

若兩個樣本相互獨立，檢測兩個樣本的均值是否相等，使用 ttest_ind 函數。

ttest_ind 函數的語法爲：

	ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True)
輸入參數：
a	數組，樣本的數據值
b	數組，樣本2的數據值
axis	一般爲 0
equal_var	若爲 true，表示兩個樣本由相同的方差
	若爲 false，表示兩個樣本的方差不同，使用合併方差
輸出參數：
tstats	統計量值
pvalue	p 值

假設兩個樣本的方差不同，則獨立雙樣本的 t 檢驗 python 代碼爲：

\begin{lstlisting}[Language=Python]

>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> b = [91.1, 93.7, 93.6, 96.1, 94.3, 92.2, 94.0, 95.7, 97.1]
>>> st.ttest_ind(a, b, equal_var = False)
Ttest_indResult(statistic=7.723221821038956, pvalue=2.4331092243754622e-06)

從上面結果可以看出，p 值小於置信度 0.05，拒絕原假設，認爲兩個兩個樣本的均值不同。

若兩個樣本是匹配樣本，使用函數 ttest_rel，它的語法更簡單，只需在函數裏輸入兩個樣本的數組即可。假設上面兩個樣本爲匹配樣本，python 代碼爲：

>>> import scipy.stats as st
>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> b = [91.1, 93.7, 93.6, 96.1, 94.3, 92.2, 94.0, 95.7, 97.1]
>>> st.ttest_rel(a, b)
Ttest_relResult(statistic=10.845107419335658, pvalue=4.617509769582176e-06)

結果顯示，p 值小於置信度 0.05，拒絕原假設，認爲這兩個匹配樣本的均值不同。