樽海鞘羣算法原理詳解

樽海鞘羣算法原理詳解

首先請大家跟我讀，樽（zūn）海（hǎi）鞘（qiào）！
網上看了不少論文用了這個算法，但是還沒有很詳細清楚的原理介紹。所以我就來開一篇啦。

起源背景

首先這個算法是 Mirjalili 等人2017年在文章《Salp Swarm Algorithm:A bio-inspired optimizer for engineering design problems》中介紹的一個模擬樽海鞘生物的智能優化算法。它對於一些優化問題具有很強的優越性，當然它也會包含一些類似於粒子羣等算法相關的內容。

羣體智能算法介紹

首先我們先要知道這個算法是做什麼的，我們先舉一個最簡單的例子，假如說，有一個函數$f(x,y) = 100 - (x-3)^2 - (y-4)^2$，當然這個函數是我隨便寫的，但是我們不用很關心這個函數的表達式是什麼樣子的，我們只需要知道，我們現在的任務是找到一對數字 $(x_0,y_0)$ 使得這一對數字作爲自變量帶到函數式裏面可以讓函數值 $f(x,y)$ 的值儘量的大。現在我們就一步一步來使用更高端的方法。

1. 如果我們高中的做法，肯定是使用一些數學的知識，比如根據感覺我們知道這個函數在 $(3,4)$ 這個點可以取得最大值。其實這個函數就是下面這個樣子的，可以想象一下，最高點在 $(3,4,100)$。這種方法需要一定的數學基礎。

2. 後來我們學會了使用計算機，我只需要在一定範圍內枚舉所有的自變量的值，找到最大的函數值，就是我們希望找到的了。這個的優勢就是，如果 $f(x)$ 變成這個樣子 $f(x) = cos((x^2+y^2)^{\frac16}) + sin((x^2+y^2)^{\frac16})$ 甚至更復雜的樣子，那麼數學能力總有捉雞的時候，所以這時第二種方法的優越性就體現出來了。這種方法很暴力無腦，但是需要確定一個適當的枚舉範圍，因爲自變量的範圍可能會很大很大。更需要很強的計算機運算能力。

   double f(int x, int y) {
       return 100 - (x-3)*(x-3) - (y-4)*(y-4);
   }
   double getMax(){
   	double ans = -inf;
       for (int i=-100; i<=100; i++) {
           for (int j=-100; j<=100; j++) {
               ans = max(ans, f(i,j));
           }
       }
    return ans;   
   }
   

3. 再後來我們發現，如果我們不一定非要找到能使得這個函數取得最大值的自變量，而是隻需要使得這個函數的函數值儘量大就可以了，那麼這樣我們就可以通過放棄最優解而減輕很大的計算量，使得計算較優解變得可行。下面偷雞開始了，最簡單的，我就根據我的計算能力隨機的在定義域內取若干個點，然後計算它們的函數值，取其中最大的一個作爲我們函數的這個優化結果。這樣的好處就是，我根據我的計算機計算能力，限定時間內，我能計算多少個點，我就隨機取多少個點進行計算。代碼如下：

   double f(int x, int y) {
       return 100 - (x-3)*(x-3) - (y-4)*(y-4);
   }
   double getMax(){
   	double ans = -inf;
       int T = 100000;
       while(T--){
           ans = max( ans , f(rand(), rand()) );
       }
    return ans;
   }
   

4. 偷雞繼續中，上面方法3雖然是隨機的，但是我們希望可以更多地利用到之前隨機得到的信息，也就是之前隨機到的每個點的函數值，來讓我們下一次隨機的位置更有意義。那麼如何利用呢，我們重新看這個問題，我們這個函數的圖像想象成是一個凹凸不平的山脈。如果是上面的函數，那麼我們可以看到它只有一個山頂，但是如果是分段函數呢，或者有的函數不好用表達式表示出來，而是一段代碼描述。那麼這個函數的圖像就會是一個凹凸不平的山脈，我們的目標就是找到他的最高峯，或者說，找到一個儘量高的位置。那麼這個時候如果是我們人類，我們就會充分的利用我們掌握的信息，比如我們站在一個點上，我們肯定就會盡量向周圍高的方向前進，那麼動物也是，而且因爲獲取的信息有限（只能知道當前所在點的位置的高度），所以有時候往往動物的一些行爲對於這種找最高點的目標更有優勢。這樣就衍生了各種各樣的羣體智能算法，其實都是在模擬各種各樣的小動物的行爲。從衆多的羣體智能算法中，我們這一篇博客講的就是模擬樽海鞘行動的算法。

5. 我們繼續進行擴展，上面我們的方法都是對於某一個形如 $f(x,y)$ 的自變量是二維向量的，那麼如果是自變量是 $n$ 維向量的呢，當然是看成是在一個 $n+1$ 維空間的山上找最高峯啦，那麼我們的生物就是在 $n$ 維空間上移動，所在的每一個位置都有一個對應的山峯的高度，這樣讓生物按照一定的規則移動去尋找最高峯就好啦。

樽海鞘算法原理

好了下面就是進入正題的階段了，樽海鞘羣算法就是在模擬樽海鞘的聚集行爲，它們組成樽海鞘鏈，然後進行捕食和移動。樽海鞘鏈由兩種類型的樽海鞘組成：領導者和追隨者，領導者是鏈的頭部的樽海鞘，鏈上後邊的都是追隨者角色。

現在假設我們要在一個 $n+1$ 維空間的山中找一個最高峯，我們就讓每一個樽海鞘個體的位置表示成一個 $n$ 維向量，或者叫一個位置矢量 $(x_1,x_2,...,x_n)$，$d$ 個樽海鞘連成的樽海鞘鏈就可以看成是一個種羣，用一個 $d\times N$ 的矩陣表示：
$X =\begin{bmatrix}x_1^1 & x_2^1 & ... & x_N^1\\ x_1^2& x_2^2 & ... &x_N^2 \\ ...& ... & ... & ... \\ x_1^d & x_2^d & ... & x_N^d\\\end {bmatrix}\quad$
其中第 $i$ 個樽海鞘個體的表示爲：$X_i =\begin{bmatrix}x_1^i & x_2^i & ...& x_N^i \\\end {bmatrix}$ 。這時我們把要求最大值的函數叫做目標函數或者適應度函數，一個個體就可以作爲自變量帶入這個公式中計算出它對應的函數值，這個數值也可以看做是他們對環境的適應程度，或者說叫優秀程度，這個值越高說明這個個體越優秀。然後我們就把這個個體的當前位置當做食物的位置，然後通過公式進一步的模擬樽海鞘的行爲。

• 領導者樽海鞘：領導者也就是 $X$ 矩陣中的第一個向量，它作爲領導者，它的下一步位置就是會一定程度的朝着食物前進。因此領導者的位置更新公式爲：
  $x_j^1=\begin{cases} F_j+c_1((max_j-min_j)c_2+min_j),\quad c_3\ge 0.5\\ F_j-c_1((max_j-min_j)c_2+min_j),\quad c_3< 0.5 \end{cases}$
  $x_j^1$ 爲領導者在第 $j$ 維空間的位置；$F_j$ 爲食物在第 $j$ 維空間的位置；$max_j$ 是第 $j$ 維空間的取值上邊界，$min_j$ 是第 $j$ 維空間的取值下邊界；$c_2$ 和 $c_3$ 是區間 $[0,1]$ 內產生的隨機數，$c_2$ 決定的是移動的長度，$c_3$ 決定的是移動的方向的正反；$c_1$ 主要用於控制整個羣體的探索能力和開發能力，它和當前種羣的迭代次數有關。$c_1 = 2e^{- (\frac{4t}{T_{max}})^2}$，$t$ 爲當前的迭代次數，$T_{max}$ 爲最大的迭代次數。

• 追隨者樽海鞘：顧名思義，追隨者樽海鞘就是跟着領導者來運動的，第 $i$ 只追隨者下一次迭代的位置是由，“當前迭代中它自己的位置” 和 ”第 $i-1$ 只樽海鞘的位置“ 共同決定的。根據牛頓運動定理公式的一定化簡我們得到追隨者的位置更新公式：
  $x_j^i(t) = \frac {1}{2}[x_j^i(t-1)+x_j^{i-1}(t-1)]$
  其中：$x_j^i(t)$ 表示在第 $t$ 次迭代的時候，第 $i$ 只樽海鞘在第 $j$ 維空間的座標。

至此我們就描述完成了樽海鞘羣算法的兩種個體的行爲模式，接下來只要選定合適的參數進行模擬就可以了。

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後面待更新。。。。。。
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樽海鞘羣算法解決路徑規劃時的編碼設計

代碼實現

C++版：