摘取自維基百科：
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數學歸納法（Mathematical Induction，通常簡稱爲MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數範圍內成立。雖然數學歸納法名字中有“歸納”，但是數學歸納法並不是不嚴謹的歸納推理法，它是屬於完全嚴謹的演繹推理法。
定義
最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：
- 證明當 n = 1 時命題成立。
- 證明如果在 n = m 時命題成立，那麼可以推導出在 n = m+1 時命題也成立。（m 代表任意自然數）
這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立着的多米諾骨牌，如果你可以：
- 證明第一張骨牌會倒。
- 證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
那麼便可以下結論：所有的骨牌都會倒。
例子
假設我們要證明下面這個公式（命題）：
其中 n 爲任意自然數。這是用於計算前 n 個自然數的和的簡單公式。證明這個公式成立的步驟如下。
第一步
第一步是驗證這個公式在 n = 1 時成立。我們有左邊 = 1，而右邊 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以這個公式在 n = 1 時成立。第一步完成。
第二步
第二步我們需要證明如果假設 n = m 時公式成立，那麼可以推導出 n = m+1 時公式也成立。證明步驟如下。
我們先假設 n = m 時公式成立。即
（等式 1）
然後在等式等號兩邊分別加上 m + 1 得到
（等式 2）
這就是 n = m+1 時的等式。我們現在需要根據等式 1 證明等式 2 成立。通過因式分解合併，等式 2 的右手邊
![= \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2} = \frac{(m + 2)(m + 1)}{2} = \frac{(m + 1)(m + 2)}{2} = \frac{(m + 1)[(m + 1) + 1]}{2}.](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/math/3/8/e/38eb7d58dad30505091f7aa911bc1c3d.png)
也就是說
![1 + 2 + \cdots + (m + 1) = \frac{(m + 1)[(m + 1) + 1]}{2}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/math/8/e/1/8e121ee42835ec53a1c0346c07d5d003.png)
這樣便證明了從 P(m) 成立可以推導出 P(m+1) 也成立。證明至此結叢，結論：對於任意自然數 n，P(n) 均成立。
解釋
在這個證明中，歸納推理的過程如下：
- 首先證明 P(1) 成立，即公式在 n = 1 時成立。
- 然後證明從 P(m) 成立可以推導出 P(m+1) 也成立。（這裏實際應用的是演繹推理法）
- 根據上兩條從 P(1) 成立可以推導出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。
- 繼續推導，可以知道 P(3)成立。
- 從 P(3) 成立可以推導出 P(4) 也成立。
- 不斷重複推導下一命題成立的步驟。（這就是所謂“歸納”推理的地方）
- 我們便可以下結論：對於任意自然數 n，P(n) 成立。