大家好，我是歷小冰，也是張狗蛋，原張狗蛋的技術之路的博主。
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新的微信公衆號叫程序員歷小冰，歷冰是我在螞蟻金服實習時的花名，也是我比較喜歡電視連續劇中主角的化名。可憐的張狗蛋，他一定會再回來的。??
接下來，我還是會持續關注後端開發技術，爲大家帶來更具閱讀價值的文章。
文章太短，拿一篇很久之前我寫的文章，介紹一下神奇的丘奇數，它能讓你思考計算機中的”數“到底是什麼。當時我對這些”奇技淫巧“還是很感興趣的，一本《SICP》看了好久，可惜最終還是沒有看完。??
原文發佈在CSDN上，鏈接在文末中有。以下在原文的基礎上略加修改。
最近一直在閱讀《SICP》，然後下午做其中的習題2.6，對其題意很不理解，於是搜索了相關資料，不禁如題設所說感到如雷灌頂，特此記錄下來，以供大家閱讀和交流。
題目
請考慮，在一個可以對程序做各類操作的語言中，我們完全可以沒有數（至少是沒有整數，比如說0，1，2）的情況下，可以將 zero 和加一操作實現爲：
(define zero (lambda (f) (lambda (x) x))) # 定義zero
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x))))) # 定義加一操作上述語言是LISP，同學們不必瞭解其語法，也能大致瞭解語句的含義。下一小節中會做出具體的解釋。
這一表現形式稱爲 Church 計數，也就是丘奇數，名字來源於其發明人數理學家 Church，請直接定義 one 和 two（不使用 zero 和 add-1 ）（提示：利用代換法去求值）。請給出加法過程 + 的一個直接定義（不要反覆應用 add-1 ）
丘奇數
說實話，我一直沒有看懂題目中關於 zero 和 add-1 的定義，於是我搜索了相關資料。下邊就結合資料談一下它的概念。
首先要明確的是丘奇數中的 zero，one 並不等同於數值上的 0, 1, 2。你可以理解爲它是零概念的一種表現形式。換句話說，它就是零的函數式表現形式，而整數0則是零的數值表現形式。我們先來看一下丘奇數中 zero，one 和 two 的表現形式。
(define zero
(lambda (f) (lambda (x) x)))
(define one
(lambda (f) (lambda (x) (f x))))
(define two
(lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))我們會發現 zero，one 和 two 都是一個函數，它接收 (f) 作爲參數，其返回結果是一個接收 (x) 作爲參數的函數。大家可能需要注意的是，(f) 在這裏顯然也是一個函數，在 LISP 中函數是可以作爲輸入參數的。然後我們會發現 zero，one 和 two 的區別好像就是 (f) 函數被使用的次數。 zero 中 (f) 沒有被使用，one 中 (f) 使用了一次，two 中 (f) 使用了兩次。丘奇數就是用這個次數來表示 0, 1, 2 的概念。
我們可以實驗一下檢驗一下
(define (inc n) (+ n 1)) ;inc是加一操作，作爲zero的參數，返回一個函數，作用於數字0
> ((zero inc) 0)
0
> ((zero inc) 1)
1
> ((one inc) 1)
2
> (((add-1 one) inc) 1)
3我們定義一個過程 inc 就是數值意義上的加一，然後使用 zero, one和 add-1 發現確實如同我們所想的，zero 表示 inc 過程不會被使用，返回原數值；one 表示 inc 被使用一次，返回加一的數值。
替換法求one
我們來使用替換法通過 add-1 和 zero 來求解 one 吧，求解 two 的過程類似。
(add-1 zero)
;展開add-1定義
(lambda (f) (lambda (x) (f ((zero f) x))))
; 替換zero
(lambda (f) (lambda (x) (f ((lambda (x) x) x))))
; 簡化,因爲((lambda (x) x) x)就等於x
(lambda (f) (lambda (x) (f x)))加法定義
首先我們要明白丘奇數加法的含義，我們先記其加法爲 add-church ,那麼如下代碼所示，最後一個過程得出的值應該是多少呢？
> ((one incr) 1)
2
> ((two incr) 1)
3
> (((add-church one two) incr) 1)
?根據猜測，應該是4吧。因爲 one 表示 incr 對 1 這個數值使用一次，two 標示使用兩次，那麼將二者加起來，那麼就應該是 three 的含義啦，就是表示 incr 對 1 這個數值使用 3 次，那麼就是 4 啦。
add-church 的實現如下
(define (add-church m n)
(lambda (f) (lambda (x) ((m f) ((n f) x)))))
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x))))) # 定義加一操作如果你將其與 add-1 進行對比，你會發現 add-1 中的 f 變成了(m f) ，如果把 add-1 中的 f 記住(one f)，你可能就會更加理解。
比如 (f) 爲 incr 函數，(n incr) 的結果就是一個進行 n 次 incr 的函數，(incr ((n incr) x)) 就是在 (n incr) 的基礎上再進行一次 incr，所以就表示了 add-1 操作。所以((m incr) ((n incr) x))就代表在 (n incr) 的基礎上再進行 m 次 incr，所以就是 add-church 操作。
那麼大家思考一下， add-m 應該如何表示呢？
參考資料
https://pfmiles.wordpress.com/2009/11/12/%E9%80%90%E6%AD%A5%E7%90%86%E8%A7%A3%E4%B8%98%E5%A5%87%E6%95%B0%E4%B8%80/
http://www.billthelizard.com/2010/10/sicp-26-church-numerals.html
CSDN上的原文：https://blog.csdn.net/u012422440/article/details/51291403