重溫矩陣(IV) 矩陣與函數

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光學中的光譜分析與數學中的變換有着千絲萬縷的關聯

 

一次我們談到了,對稱矩陣與正定矩陣,這一次,我們談一談矩陣如何與函數這個概念發生聯繫。通過這個並不嚴謹的描述來建立代數與分析之間的關係。

說到這裏,要談到林達華前輩的博客給我的啓發,這位MIT在讀博士在數學方向上的認識我相信不亞於任何一位科班出身的數學系同學。通過他寥寥數筆點撥,讓我瞭解了衆多數學公式下所隱藏的真諦。

關於譜的說明,就更人很大的啓發,利用譜的思想不僅很好的闡釋了特徵向量與矩陣的關係,也揭示了數學的分析思想,即所說的:分爲治之。回顧微積分中的很多定理即是依託這個基本指導思想建立起來的,比如通過譜的思想很好的說明了傅里葉分析的思想。

解數學是一個潛移默化的過程,看清數學家經過處理後的數學公式下的思想更多是通過交流和思考獲得的。筆者談起自己的本科所學總是很慚愧,真正理會到數學包含的思想是到了大三的時候,當時學習數字信號處理課程感受到數學在應用領域給人的啓示以及建立直觀與抽象之間聯繫的橋樑。後期學習的數值分析課程也同樣給了我很大的啓示,在這門課程中,我認識到了收斂這個名詞的意義以及在數值分析算法中的重要性。

 

那麼閒話少敘,林達華前輩在博客中對矩陣有過這樣描述:

對於一個向量,事實上可以看作離散化後的單變量函數,而對於矩陣而言,它是一個二維函數。

於是,矩陣乘法就變成了積分操作。

看到這句話,你我一定感覺很突然,還真是沒有這樣去理解一個矩陣以及向量,但是我們往往與一個絕妙的發現只有一紙之隔,觸發它的僅僅是那麼小小的點撥。

我們知道,一個矩陣乘以一個向量會產生另一個向量,參見:

 

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其中爲了好說明(與後文的積分變換符號對應),這裏的K是一個矩陣,而f和F分別是變換前後的向量。

我們看積分變換的定義,見wiki:

 

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這裏K(t,a)是一個確定的二元函數,稱爲積分變換的核。當選取不同的積分域和變換核時,就得到不同名稱的積分變換。f(t)稱爲象原函數,F(a)稱爲f(t)的象函數,在一定條件下,它們是一一對應而變換是可逆的。”

注意兩個概念的相通之處:

1.積分變換同樣是將一個單變量函數經過與二元函數相乘積分操作從而得到一個新的單變量函數。

2.而對於矩陣在一定的情況下(非退化)是可逆的,事實上其就是變換的核。

細細分析,你會發現更多的相似之處:矩陣相乘是對應維的累積,要知道積分(定積分)是一種連續性的求和操作。現在我們的思路一下子突然開朗,矩陣與函數建立的關係是那麼的微妙,彷彿離散世界與連續世界一下子有了一一對應關係。

循着這個想法,我們會發現更多驚人的東西。我們在上一節說過矩陣有其特徵向量,而對於積分變換有麼?

答案是肯定的,觀察最著名的積分變換之一:傅里葉變換(一種特殊的拉普拉斯變換,拉氏變換是否也有同樣的性質待考),我們知道對於正弦函數在信號增強的傅里葉變換中並不改變其頻率,而只會改變其幅度(這種說法似乎不嚴謹,這裏爲突出兩者的相通之處)

麼,從譜思想的角度出發:不同的正弦函數構成的不正是原函數經傅里葉變換後的譜麼?就是對應的特徵向量麼?不過,我們不叫他們爲特徵向量,而是:特徵函數。

好,現在我們就此打住;在這裏我們粗談一下傅里葉變換。

嗨,有人認爲高等數學中有兩種級數:

一個是泰勒級數,一個是傅里葉級數。雖然,這個說法未免不能全面的說明高等數學的所有的思想,但是管中窺豹,這兩種級數蘊涵的思想卻是高等數學中最爲經典的,特別是對於微積分學來說:我們知道泰勒級數對應的是微分算子,而對於傅里葉級數對應的是積分算子。通過認識這兩種級數可見分析學的一斑。

當然,關於這兩個級數也有一個笑話:某考研人感嘆:學過泰勒級數後,我知道什麼叫做複雜,而學了傅里葉級數後,我才知道什麼是非常複雜。

來,開始我總帶着一點不解去看待傅里葉級數,似乎一個函數(非三角函數)經過表示成了一系列三角函數的加權和。這種疑惑不亞於0.9循環等於1,以及爲什麼一堆多項式函數的加和反而不是多項式函數這樣的迷惑。其實問題就在於:我們首先就應將函數看作是這些基本函數構造成的(而且是線性組合),包括五大基本函數:指對數函數、三角函數以及反三角函數以及多項式函數(其實根本上應該是冪函數);至於基本函數有什麼好處?以及利於分析的好的性質,各位重新看任意一本涉及函數的數學教科書的最前面。而事實上我們已經獲知這些級數是收斂的,我們就應該相信我們的邏輯而不是直覺。

筆者一直認爲傅里葉變換是讓自己從理論的理解轉向應用的橋樑,在大二時期,對於數學分析以及高等代數的認識很僵硬,在公式下不辨真相,也難免產生了對於數學的自卑感,總感覺自己不適合學數學(當然確實不適合讀數學),直到認識到了傅里葉變換的美妙一面後,突然開了竅,發現以前的時光如虛度一般。通過認識福利葉變換我彷彿發現了很多從直覺乃至直觀上認識現代數學的諸多思想的竅門(其實就是自然而然,循着數學史去理解數學發現),而我們也從此對傅里葉變換髮生了興趣,我樂此不疲的從各種資料上發掘傅里葉變換的通俗而絕妙的解釋,在這裏列一二,供參考:傅里葉變換最常見稍見本質的解釋是:

正弦函數(當然說成餘弦也行)去擬合任意連續函數。

在將其引申到更廣義的概念上,可理解爲:

時間域的問題往往難以分析,就如高山峻嶺一般,求解問題就如翻山越嶺方可到達目的地,而僅有的一水相隔的頻域確實一片坦途;於是傅里葉變換就是拯救我們的小船,將我們渡向坦途,待我們到達目的地的對岸,再需渡水(傅里葉逆變換)即可到達當初翻山越嶺方可到達的目的地。

上述的解釋不免冗繁而道理已被我們拓展到更爲廣闊的“如何求解問題”這樣廣義領域。這種思想可以用來解釋很多變換的指導思想

下面是一個筆者認爲最爲絕妙的解釋:

傅里葉變換如一片三棱鏡將光分成不同顏色(對應的是光的波長,即頻率)的七色光

啊!多麼漂亮的解釋!各位!關於這一點我們就要談談讓我們要“站在巨人肩膀上”的大牛:牛頓

 

 

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這個圖描述了牛頓的最偉大發現

 

諸位,衆所周知,牛頓在數學以及物理學上有著名的成就:微積分以及牛頓深以爲豪的二項式定理與堪比歐式幾何般經典完美的牛頓三大定律(儘管其實兩者都不完美,呵呵)而另一個領域就是光學,而在這個讓我們稍許陌生的領域其最大的發現就是:光譜分析,見wiki:

從1670年到1672年,牛頓負責講授光學。在此期間,他研究了光的折射,表明棱鏡可以將白光發散爲彩色光譜,而透鏡和第二個棱鏡可以將彩色光譜重組爲白光。他還通過分離出單色的光束,並將其照射到不同的物體上的實驗,發現了色光不會改變自身的性質。牛頓還注意到,無論是反射、散射或發射,色光都會保持同樣的顏色。在光學上,他發明了反射式望遠鏡,並基於對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察,發展出了顏色理論。”

各位不須我贅述了吧,容許我臆想一下牛頓爲什麼發現了在數學以及光學等不同領域所蘊含思想,而發現了微積分和光的色散與重聚這兩個似乎風馬牛不相及的東西。其實這也側面的說明了自然是如何與數學或者數學是如何準確的描述自然的,關於更多的實例,比如光的折射(光總是選擇一個最短的路徑去在混合介質中傳播)與變分法的關係。

好了閒話少敘,我覺得引用牛頓的發現已經讓我少說很多廢話了,事實上把手寫打成文檔的過程使得我對以前的感悟有了重新的思考,但突然發現牛頓的兩大發現之間的關聯時,我發覺下面的手寫文字不過是畫蛇添足一般,只不過是廢話。

不過,爲了連貫思路,我儘量把廢話精簡一下:

將光分成不同顏色(頻率)的單色光去研究我們就稱之爲譜分析。而譜這個概念在多個科學都有應用,例如矩陣,圖論等等,當然都有不同的直覺體現和意義,但是本源的指導思想與牛頓當初的思想相信並無大異。

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