背景
Weisfeiler-Lehman算法(威斯費勒-萊曼算法)是測試圖同構的經典算法之一，我在這兒記錄一下它的實現原理，參考文章爲Weisfeiler-Lehman Graph Kernels
僞代碼
論文中的僞代碼如下所示
假設要測試同構的兩張圖爲G和G`，那麼在結點v的第i次迭代裏，算法都分別做了四步處理：標籤複合集定義、複合集排序、標籤壓縮和重標籤。
標籤複合集定義
如果是第一次迭代， v的標籤複合集裏只有一個元素，就是v的標籤。
如果不是第一次迭代，v的標籤複合集元素就是v的所有鄰居在上一輪迭代裏，生成的標籤。
複合集排序
首先，對複合集裏的元素進行升序排序，並把排序好的元素拼接爲一個字符串s；然後把v在上一輪迭代生成的標籤作爲前綴，添加到這個s裏。
標籤壓縮
對兩張圖G和G`中所有結點的字符串s，進行升序排列；然後通過映射函數f，把每一個s映射成一個壓縮標籤，並且當且僅當s1 = s2時，生成的壓縮標籤才一樣。
也是說，壓縮標籤類似於s的標識符，而映射函數f完全可以用計數函數來實現。其實只要能讓s和壓縮標籤一一對應，前面的對s進行升序排列這一步就沒必要做了。
重標籤
將壓縮標籤作爲結點v在兩張圖中的第i輪標籤。
如果G和G`在這一輪生成的標籤集不一樣，那麼這兩張圖就不是同構的，算法直接結束。
舉例
以下面的圖爲例，圖a到圖d顯示了威斯費勒-萊曼算法在G和G`上的第一輪迭代過程
圖a是初始形態，結點的標籤對應結點類型。
圖b則是複合集的生成與排序拼接的結果。對於某個結點v，他的複合集是鄰居在上一輪迭代生成的標籤集。但是上一輪迭代爲初始化，那麼鄰居在上一輪迭代生成的標籤就是鄰居的結點類型。因此，以圖G爲例，兩個1號結點的複合集就都是{4}，4號結點的複合集就是{1, 1, 3, 5}(要升序排列)，其餘以此類推。完成之後，把排序好的複合集中的元素，依次拼接成字符串s，然後把結點標籤本身，作爲前綴拼接到s前面。在G中，對於結點1，生成的s就是"1, 4"；對於結點4，生成的s就是"4, 1135"。最後，用s替代結點v的標籤。
圖c則是標籤壓縮過程，把G和G`中所有的複合集按升序排列，並且按順序依次標號。這裏的排序規則是按元素數值的升序進行排列，因此{2, 3}在{1, 4}前面，{2, 4, 5}在{2, 3, 5}前面。由於經過上一輪迭代(初始迭代)，圖中已經出現了5類結點，那麼這裏的編號從6開始。
圖d則是最後一步重排序，用生成的編號代替每個結點的複合集，得到結點在這一輪迭代中生成的新標籤。
對於上面的兩張圖來說，第1輪生成的新標籤集合就已經不一樣了，因此他們倆是異構圖。
時間複雜度
由於每一輪迭代主要處理的是排序，那麼假設對於某個圖G，每一次迭代可以生成的複合集中有m個元素，根據計數排序，迭代時間複雜度就是O(m)。每一輪生成的複合集的元素數量m是>=結點數n的，因爲每個結點的複合集都至少包含自己的標籤。
如果迭代次數爲h，那麼威斯費勒-萊曼算法計算複雜度就是O(hm)