KKT (LICQ)

H. E. Krogstad, TMA 4180 Optimeringsteori KARUSH-KUHN-TUCKER THEOREM

KKT条件在处理有约束问题的时候很有用, 但是对KKT的适用性一直不是很理解, 看了这篇讲解整理一下.

基本内容

问题
$\tag{1} \min_{x \in \Omega} f(x),$
在等式约束条件:
$\tag{2} c_i(x) = 0, i \in \xi,$
及不等约束条件:
$\tag{3} c_i(x) \ge 0, i \in \mathcal{I}.$
不妨就记
$\Omega = \{x: c_i(x) = 0, i \in \xi, c_i(x)\ge 0, i \in \mathcal{I}\}.$
在不等式约束中, 即只有当我们所寻的极值点$x^*$处, $c_i(x^*)=0, i \in \mathcal{I}$称之为激活不等式约束(active inequality constraints), 否则为不激活的, 我们记激活的不等式约束和等式约束为$\mathcal{A}$.

注: 均连续可微.

对于任意一个可行点$x_0$, 令$x(t), t\ge 0$为一连续路径, 满足$t\rightarrow 0, x(t) \rightarrow x_0$，定义$d$为:
$\frac{x(t) - x_0}{\|x(t)-x_0\|} \mathop{\rightarrow } \limits_{t \rightarrow 0} \frac{d}{\|d\|}.$

有如下性质:
$\tag{8,9} \nabla c_i(x) d = 0, i \in \xi \\ \nabla c_i(x) d \ge 0, i \in \mathcal{I \cap A},$
其中, 我们假设梯度向量为行向量.

证明:
$c_i(x(t)) - c_i(x_0) = \nabla c_i(x_0)(x(t)-x_0) + o(\|x(t)-x_0\|) = 0, i \in \xi$
两边同除以$\|x(t)-x_0\|$, 并令$t \rightarrow 0$即可得.
$c_i(x(t)) - c_i(x_0) = \nabla c_i(x_0)(x(t)-x_0) + o(\|x(t)-x_0\|) = c_i(x(t)) \ge 0, i \in \mathcal{I \cap A}$
与上面同样的操作即可得.

我们把这些由路径引导出来的可行方向$d$的集合记为
$\tag{10} \mathcal{T}(x) = \{d: d \: feasible \: di rection \: out \: from \: x\}.$
而记满足$(8, 9)$的一切$d$的集合记为$\mathcal{F}(x)$, 显然$\mathcal{T}(x) \subset \mathcal{F}(x)$, 且均为锥(即$d$属于此集合, 则$\alpha d, \alpha > 0$也属于此集合).

LICQ 假设

点$x_0$满足LICQ假设, 当
$\tag{14} \{\nabla c_i(x_0)\}, i \in \mathcal{A},$
是线性独立的.
线性不独立: 当集合中存在一个向量能够由其他向量线性表出, 否则称此集合线性独立. 显然这是比线性无关更强的一个概念.

KKT 定理

假设$x^*$是问题(1)在等式约束(2)以及不等式约束(3)的限制下的局部最小值点, 且满足LICQ假设. 则存在$\lambda_i^*$满足:
$\tag{17} \nabla f(x^*) = \sum_{i \in \xi \cup \mathcal{I}} \lambda_i^* \nabla c_i(x^*),$
且
$\tag{18} \begin{array}{lc} (i) & \lambda_i^* \cdot c_i(x^*) = 0, i \in \xi \cup \mathcal{I}, \\ (ii) & \lambda_i^* \ge 0, i \in \mathcal{I}. \end{array}$

KKT定理的证明

记:
$A = \left [ \begin{array}{c} \nabla c_1(x) \\ \vdots \\ \nabla c_m(x) \end{array} \right ]$
属于$\mathcal{A}$的所有$c_i$的梯度的综合表示,
$c(x) = [c_1(x), \ldots, c_m(x)]^T.$

引理A

引理A: 当$x \in \R^n$满足LICQ假设, 则$\mathcal{T}(x) = \mathcal{F}(x)$.

证明:
既然$\mathcal{T}(x) \subset \mathcal{F}(x)$, 我们只需要证明$\mathcal{F}(x) \subset \mathcal{T}(x)$.

下面, $\forall d \in \mathcal{F}(x)$, 我们将构造$y(t), t \ge 0$, 为一连续的起点为$y(0)=x$的路径, 且在$x$的足够小的一个邻域内$y(t)$满足等式约束和不等式约束, 一旦找到这样的$y(t)$, 证明也就完成了.

根据假设可知, dim($A$) = $m$, 则$A$的核的维数为$dim(N(A))=n-m$, 我们从核空间中抽取一组基作为行向量构建$Z'$, 则
$\tag{24} \left [ \begin{array}{c} A \\ Z' \end{array} \right ]$
是一个非奇异的$n\times n$的方阵.

考虑如下的非线性方程系统(显然有解$t=0,y=x$)
$\tag{25} R(y, t) = \left [ \begin{array}{c} c(y) - tAd \\ Z'(y - x -td) \end{array} \right ] = 0.$
关于$y$的加科比行列式为
$\tag{26} \frac{\partial R}{\partial y} |_{t=0} = \left [ \begin{array}{c} A \\ Z' \end{array} \right ],$
非奇异, 所以根据隐函数定理可知, 在$t$足够小的时候, 存在连续可微函数$y(t)$, 且$y(0)=x$.

既然
$\tag{27} c(y)=c(x) + \nabla c(x)(y-x) + o(\|y-x\|) = A(y-x)+o(\|y-x\|),$
我们有
$\tag{28} 0=R(y(t),t) = \left [ \begin{array}{c} A \\ Z' \end{array} \right ] (y(t)-x-td) + o(\|y(t)-x\|).$

也就是说
$\tag{29} y(t)-x=td+o(\|y(t)-x\|),$
俩边令$t \rightarrow 0$, 可知$y(t)$为$d$的一个连续路径.
又结合(25)
$\tag{30} c(y(t))-tAd=0,$
$\tag{31} c_i(y(t))=t\nabla c_i(x)d = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \in \xi \\ \ge 0 , & i \in \mathcal{I \cap A} . \end{array} \right .$
所以对于任意的$i \in \mathcal{A}$, $y(t)$是可行路径, 对于未激活的不等式约束, 既然$y(t)$是连续的, 当$t$足够效地时候容易得到$c_i(y(t)) > 0, i \in \mathcal{I}, i \not \in \mathcal{A}$. 这样便证明了, $\forall d \in \mathcal{F}(x)$, 均为可行方向, 故$\mathcal{F}(x) =\mathcal{T}(x)$.

Farkas 引理

Farkas 引理: 令$g$和$\{a_i\}_{i=1}^m$为$n$维行向量且
$\tag{33} \mathcal{S} = \{ d \in \mathbb{R}^n; gd<0 , a_id \ge 0, i=1, \ldots, m\},$
则$\mathcal{S} = \empty$当且仅当存在非负向量$\lambda \in \mathbb{R}^m$ 使得
$\tag{34} g = \sum_{i=1}^m \lambda_i a_i.$

证明:

$\Leftarrow$

$\forall d \in \mathcal{S}$,
$0 > gd = \sum_{i=1}^m \lambda_i a_id \ge 0,$
故$\mathcal{S} = \empty$.

$\Rightarrow$

若不存在这样的$\lambda$, 即对于任意的$\lambda$, $g \not =\sum_{i=1}^m \lambda_i a_i$, 则$g$不能由$\{a_i\}$线性表出. 不妨假设$\{a_i\}$与$g$按序进行施密特正交化过程, 可得$\{\hat{a}_i\}$为$\{a_i\}$的一正交向量组, $h$为
$h = g- \sum_i \langle g,\hat{a}_i\rangle \hat{a}_i,$
则
$\langle h, a_i \rangle = 0, \\ \langle h, g \rangle = l \not = 0.$
不妨设$l<0$(否则$h=-h$), 则$h \in \mathcal{S}$, 这与$\mathcal{S} = \empty$矛盾.

证毕.

定义问题$\mathcal{P}$:
$\tag{36} gd < 0, \\ Ad \ge 0.$
定义问题$\mathcal{D}$:
$\tag{37} g = \lambda^T A, \lambda \ge 0.$

推论

推论: 要么问题$\mathcal{P}$存在解, 要么$\mathcal{D}$存在解, 二者不能同时成立.

KKT定理的证明

既然$x^*$是一局部极值点, 则
$\tag{38} \nabla f(x^*) d \ge 0, \forall d \in \mathcal{T} (x^*) =\mathcal{F}(x^*),$
将$\nabla f(x^*)$视作Farkas引理中的$g$, $A$即为我们最开始定义的$A$, 则$\forall Ad \ge 0$, $d \in \mathcal{F}(x)$, 这是因为所有等式约束$c_i(x)=0$, 都可以变成俩个不等式约束$c_i(x)\ge0, -c_i(x) \ge 0$. 这也就是说, 问题$\mathcal{P}$无解, 则$\mathcal{D}$有解, 即存在$\lambda^* \ge 0$:
$\tag{39} \nabla f(x^*) = \sum \lambda_i^* \nabla c_i(x^*), \lambda_i^* \ge 0.$
对于任意的$i \not \in \mathcal{A}$, 我们只需取$\lambda_i^*=0$, (39)依然成立, 同时原定理(18)中的(i)(ii)也同样容易证明.