算法設計與分析基礎(第三版)之第8章 動態規劃

本博客主要是對Anany Levitin著、潘彥譯的算法設計與分析基礎(第三版)之第8章 動態規劃進行代碼梳理與講解，代碼語言主要爲Python，其他語言也類似，可以把Python的解題方法看成是僞代碼進行轉換。
動態規劃是數據結構中最重要的一環，也是面試中大家覺得頭大的一類面試題型。關於動態規劃的解題方法可以參考博主另一篇博文：一文詳解動態規劃【更新ing】。這篇博文的主要目的在於對書中的題目進行代碼化。
例題1：幣值最大化問題
這個是個經典題目了，也有多種變體，我們先看書中題目。題目是這個樣子的：
給定一排${n}$個硬幣，其面值均爲正整數${c_1, c_2, ..., c_n}$，這些整數並不一定兩兩不同。請問如何選擇硬幣，使得其原始位置互不相鄰的條件下，所選硬幣總額最大。
該題是一個動態規劃的典型題目，重點在於理解原始位置互不相鄰及子問題的構建上。整體上，解決動態規劃問題四步走：
（1）劃分子問題
（2）構建狀態轉移
（3）確定初始狀態
（4）循環迭代求解
我們思考如下：
1、題目理解：
       互不相鄰，我們可以理解爲下標間隔2，即${1, 3, 5,..., 2n+1 }$ 或者${0, 2, 4,..., 2n}$這種方式，原始位置一定互不相鄰。
2、劃分子問題
       我們自頂向下思考這個問題，如果說我們對於已經選擇好的硬幣組合$f(n)$，代表的含義爲我們已經選擇好下標到$n$的硬幣組合，此時的總額記爲$f(n)$，那麼對於$f(n)$來說，它的選擇計劃對於最後一個硬幣$c_n$有兩個來源:
（1）選擇硬幣${c_n}$，因題目要求選擇的是互不相鄰的位置，那麼子問題就變成必須要求$f(n-2)$最大，此時${f(n) = f(n-2) + c_n}$
（2）不選擇硬幣${c_n}$，此時子問題變成—>如何在${c_1, c_2, ..., c_{n-1}}$中選擇硬幣，使得其要求總額最大。即要求$f(n-1)$最大就好。
3、構建狀態轉移
       基於(1)、(2)，對於$f(n)$整體上來說，總額最大的關係表達式爲：
${f(n) = max( f(n-2) + c_n, f(n-1))}$
完成了動態規劃解題第一步劃分子問題和第二步構建狀態轉移。
3、確定初始狀態
       這裏初始狀態有兩個：$n=0和n=1$這兩個狀態。
       當$n=0$時，表明此時硬幣數組爲空，不論如何選擇，最大金額一定爲0，即$f(0)=0$
       當$n=1$時，表明此時硬幣數組只有一個元素，而且該元素爲正整數。不論如何選擇，最大金額一定爲該元素，即$f(1)=c_1$。
4、循環迭代求解
先設定一個長度爲$n$【爲什麼是$n$而不是$n+1$呢？歡迎評論區討論~】的數組$arr$用來裝一排$i, 0<=i<=n$的硬幣中選擇互不相鄰的硬幣的最大總金額，那麼從一排n個硬幣中選擇出互不相鄰的硬幣總金額$arr[n]$。

class CoinSelection(object):
    def __init__(self, n, arr_coin):
        self.n = n
        self.arr_coin = arr_coin
    def solution(self):
        if self.n == 0 or self.arr_coin is None:
            return 0
        else:
            arr_solution = [0] * self.n
            arr_solution[0] = 0
            arr_solution[1] = self.arr_coin[0]
            for coin_number in range(2, n, 1):
                arr_solution[coin_number] = max(arr_solution[coin_number-2] + self.arr_coin[coin_number], arr_solution[coin_number - 1] )
            return arr_solution[-1]


if __name__ == "__main__":
    n = 6
    coin_arr = [5, 1, 2, 10, 6, 2]
    coin_solution = CoinSelection(n, coin_arr)
    result = coin_solution.solution()
    print(result)

此種接法的空間複雜度和時間複雜度均爲$O(n)$。

例題2：找零問題
需找零金額爲$n$，最少要用多少面值爲$d_1<d_2<...<d_m$的硬幣？假設$m$種面值爲$d_1<d_2<...<d_m$的硬幣數量無限可得，$d_1=1$。
該題思考：
一開始這個題目博主理解有誤，主要在對【找零金額】這四個字的理解上，博主開始理解成了找零錢，也就是數學中的餘數，然後就納悶：這個題目也沒告訴博主需要付多少錢啊，零錢怎麼找呢？懵逼了一圈後，看了解答發現，這裏的找零金額是指總金額。後續解答講解中博主都用總金額替換掉找零金額。。
假設$f(n)$表示選用最少的硬幣組成的總金額爲$n$，上一個階段爲從$m$個面值硬幣中任意選一個，且組成硬幣總額爲$n-d_j$的所需硬幣數最少，即$f(n) = min{f(n-d_j)} + 1$。
初始邊界條件：$f(0) = 0$，$f(1)$表示總金額爲1，此時只能選擇$d_1$，故而只有選擇$d_1$這一種方式，因此$f(1) = 1$。

import numpy as np


class SumMoney(object):
    def __init__(self, n, coin_value):
        self.n = n
        self.coin_value = coin_value

    def solution(self):
        coin_solution = [0] * (self.n + 1)
        coin_solution[0] = 0
        coin_solution[1] = 1
        for sum_money in range(2, self.n + 1, 1):
            tmp = np.inf
            for single_coin_value_index in range(0, len(self.coin_value)):
                if sum_money >= self.coin_value[single_coin_value_index]:
                    tmp = min(coin_solution[sum_money - self.coin_value[single_coin_value_index]], tmp)
            coin_solution[sum_money] = tmp + 1
        return coin_solution[self.n]


if __name__ == "__main__":
    n = 6
    coin_arr = [1, 3, 4]
    coin_solution = SumMoney(n, coin_arr)
    result = coin_solution.solution()
    print(result)

此時的輸出結果爲：

2

Process finished with exit code 0

變體1:
輸出例題2的具體最優解即最少的硬幣組合方案中使用了哪些硬幣。
尋找組合的過程與例題2的思路反着來，即先找到最少的硬幣組合數，然後從最少硬幣組合數的最後一個數字出發，看其所選硬幣數，然後再往上反着推。
此題需要對例題2的每一步的最少硬幣數用到的硬幣進行存儲，然後在找到最少硬幣後反推着來。

變體2：對於每種面值的硬幣限制其使用數量

例題3：最短路徑問題

Ref：
1、硬幣找零問題–動態規劃參考
2、動態規劃從入門到專家