線性代數 : 矩陣乘法和矩陣的逆

矩陣乘法和求矩陣的逆

1. 常規方法:行向量*列向量
2. 矩陣*列向量
3. 行向量*矩陣
4. 列向量*行向量
5. 分塊矩陣乘法
6. 求矩陣的逆

列*行

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right], B = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right], AB = C$

$C_{(i,j)} = \sum_{k=1}^{3} A_{(i,k)}B_{(k,j)}$
$C_{(i,j)} = A_{row_i}\cdot B_{col_j}$

• $i=2,j =2$
• $C_{(2,2)} = 3\times 2+2\times 2+1\times 1 = 11$

矩陣*列向量

$A\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] =C$

$C= \left[\begin{matrix}A\left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 2\end{matrix}\right] & A\left[\begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right] & A\left[\begin{matrix} 3\\ 1\\ 1\end{matrix}\right]\end{matrix}\right]$

矩陣$A$列向量的線性組合
$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$

$C_{col_1} = A\left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 2\end{matrix}\right] = 1\times \left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 0\end{matrix}\right]+ 3\times \left[\begin{matrix}2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right] + 2\times \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 9\\ 11\\ 5\end{matrix}\right]$

以此類推:

$C_{col_2} = \left[\begin{matrix} 7\\ 11\\ 9\end{matrix}\right]$
$C_{col_3} = \left[\begin{matrix} 6\\ 12\\ 2\end{matrix}\right]$

$C = \left[\begin{matrix} 9 & 7 & 6 \\ 11 & 11 & 12 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix}\right]$

行向量*矩陣

$AB = C$ : 矩陣$B$行向量的線性組合

$C = \left[\begin{matrix}A_{row_1}B\\ A_{row_2}B \\ A_{row_3}B\end{matrix}\right]$

$C_{row_1} = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] = 1\times \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\end{matrix}\right]+2\times \left[\begin{matrix}3 & 2 & 1\end{matrix}\right]+1\times \left[\begin{matrix}2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9 & 7 & 6\end{matrix}\right]$

列*行

$AB = A_{col_1}B_{row_1} + A_{col_2}B_{row_2} + A_{col_3}B_{row_3}$

$C_1 = A_{col_1}B_{row_1} = \left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$

$C_2 = A_{col_2}B_{row_2} = \left[\begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 6 & 4 & 2 \\ 6 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right]$

$C_3 = A_{col_3}B_{row_3} = \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$

$C = C_1 + C_2 + C_3 = \left[\begin{matrix} 9 & 7 & 6 \\ 11 & 11 & 12 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix}\right]$

分塊矩陣乘法

$A=\left[\begin{array}{c|c}A_1 & A_2 \\ \hline A_3 & A_4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c|c}B_1 & B_2 \\ \hline B_3 & B_4\end{array}\right]$

$AB = A=\left[\begin{array}{c|c}A_1B_1+A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4 \\ \hline A_3B_1+A_4B_3 & A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]$

矩陣的逆

$A$爲n階段方陣,存在$XA = I, 則 X= A^{-1}$, 如果$A$的逆存在,$A$也稱作可逆矩陣或非奇異矩陣

例子: 判讀矩陣的逆是否存在?
$AX = \left[\begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 6\end{matrix}\right]X = \left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]$

1. 畫圖
   
   由上圖可知,$A$的兩個列向量共線,所以它們所有的線性組合都不能得到$I_{col_1}$,同理也不能得到$I_{col_2}$

2. 如果存在一個非0向量$\pmb x$,使$A\pmb x=0$,則$A$的逆不存在
   證明:

• 如果: 假設$A$的逆存在
• 那麼: $A^{-1}A \pmb x = 0$
• 所以: $I\pmb x = 0$,即$\pmb x = 0$
• 因爲: $\pmb x \neq 0$
• 所以: $A$的逆不存在

計算$A$的逆

列:$A = \left[\begin{matrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{matrix}\right]$,求$A$的逆矩陣?

設$A^{-1} = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix}\right]$

$AA^{-1} = \left[\begin{matrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]$

計算矩陣的逆其實也是在求解方程組:

1. $a\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] + c\left[\begin{matrix}3 \\ 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right]$
2. $b\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] + d\left[\begin{matrix}3 \\ 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix}\right]$

方程組

1. $\left\{ \begin{array}{lr}a + 3c = 1\\ 2a + 7c= 0 \end{array}\right.$

2. $\left\{ \begin{array}{lr}b + 3d = 0\\ 2b + 7d= 1 \end{array}\right.$

消元法解方程組

1. 增廣矩陣$[A|I] = \left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 7 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

2. $A \to U, \to \left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]$

3. $A \to I, \to \left[\begin{matrix}1 & 0 & 7 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]$

4. $A^{-1} = \left[\begin{matrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{matrix}\right]$,$a = 7, b=-3,c=-2,d=1$

Why ?$[A|I] \to A\to U \to I \to [I|A^{-1}]$

1. 矩陣消元&分塊乘法

$(1).E[A|I]=[I|A^{-1}]$

$(2).EA = I, EI = A^{-1}$