HDU6630 permutation 2

题意

给你一个数字 n (2<=n<=1e5)，代表长度为 n 的排列(第 i 个数字为 $p_{i}$ )，并且给你两张正整数 x, y,问满足下面条件的排列有多少种:

• $p_{1}=x$
• $p_{n}=y$
• 对于所有的 $1&lt;=i&lt;n$ ， $| p_{i}-p_{i+1}|&lt;=2$

真题解:

假题解：

首先分析一个很经典的问题，当$x=1,y=n$有多少种排列
通过打表很容易得到递推式, dp(n) = dp(n-1) + dp(n-3);
但是分析也是很重要的,
考虑长度为 n　的排列，最后一位是 n, 则倒数第二位只能是　n-1 或者　n-2
当 $p_{n-1}=n-1$的时候　，dp(n) = dp(n-1)
当 $p_{n-1}=n-2$的时候　，则倒数第三位只能放 n-1 ,因为如果 n-1 只能放在 n-2 和 n-3 之间，这时候不放　n-1 ，后面依次放下去一定不合法，　因为已经放了　 n-1,n-2,n　,倒数第四位一定是　n-3,原因上面已经说明,则 dp(n) = dp(n-3)
两种策略合起来，则

$dp(n)=dp(n-1)+dp(n-3)$

但是这个题目如何分析呢，因为首位是 x,末尾是 ｙ，不妨设x<y并且　x!=1 , y!=n（请注意）
因为第一位为 x,我第二位能放　x-2,x-1,x+1,x+2 ，有这四种情况
分析：

• $p_{2}=x+1$,则 $p_{3}$ 一定要为 x-1 ,不然比 x 小的没法放了,现在已经有了　$x,x+1,x-1$，仔细分析发现只能减少了，不能再增加了，所以这种策略失败

• $p_{2}=x+2$,如果一直增加，肯定只会增加２(增加１上面证明了是失败了策略)，然后再来分析能不能减少，考虑最简单的只有$p_{1},p_{2}$也就是　x，x+2, 减少只能放 x+1, 然后现在要么减少要么增加，肯定不能又把　１放好又把　y 放好，则这种策略也失败了

• $p_{2}=x-1$,和第一种方案类似，不能全部放完，失败。

• $p_{2}=x-2$，由于前面几次的分析，发现必须得把１放好，也就是一直放到最小，切每次减２，相当于　x，x-2，x-4，…，1(偶数的话直接２在１), 然后在看x的是奇数偶数，，举个例子

• $x=5，5-&gt;3-&gt;1-&gt;2-&gt;4-&gt;6$

• $x=6，6-&gt;4-&gt;2-&gt;1-&gt;3-&gt;7$

对于y同理，然后发现排列可以看做　首位是 x+1, 末位是 y-1 ，其他数为　$[x+2,y-2]$，同时减去x的话，不是我们上面那个dp 的结论吗

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int N=1e5+5;
const int mod=998244353;
int dp[N];
int main()
{
    dp[1]=1;dp[2]=1;dp[3]=1;
    for(int i=4;i<N;i++)
        dp[i]=(dp[i-1]+dp[i-3])%mod;

    int t;cin>>t;
    while(t--){
        int n,x,y;
        scanf("%d%d%d",&n,&x,&y);
        if(x!=1)x=x+1;
        if(y!=n)y=y-1;
        printf("%d\n",dp[y-x+1]);
    }
}