樹狀數組的區間修改和區間查詢問題

本文章適合已經會基本的樹狀數組用法看。

樹狀數組最經常的兩個操作：單點更新，區間求和
如果要區間更新怎麼辦？
參考文章：https://www.cnblogs.com/kickit/p/9172189.html

（問題一）給定數組 a，有 2 種操作

1. 將區間 [l,r] 的 a 加上 v
2. 求區間 $\sum_{i=l}^{r}a_{i}$

解法上面博客已經說明，就不再加以說明。

（問題二）給定數組a,b；有 2 種操作，

1. 將區間 [l,r] 的 a 加上 v

2. 求 $\sum_{i=l}^{r}a_{i}*b_{i}$

分析：
該問題直接差分是不行的，因爲多了一個權值b，然而因爲要進行區間修改操作，我們依然可以先化成差分的形式。
設 $d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$

$\sum_{i=1}^{x}a_{i}*b_{i}$ = $\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{i}d_{j}*b_{i}$

這個式子直觀上不太好看，我考慮將他拆開（數學太差，只能靠肉眼觀察QaQ）

= $b_{1}(d_{1})+b_{2}(d_{1}+d_{2})+..+b_{x}(d_{1}+d_{2}+..+d_{x})$

肉眼發現將 d 提出來會得到一個有意思的東西

= $d_{1}(b_{1}+b_{2}+..+b_{x})+d_{2}(b_{2}+..+b_{x})+..+d_{x}(b_{x})$

設 $s_{i} = \sum_{j=1}^{i}b_{j}$

上式

= $\sum_{i=1}^{x}d_{i}*(s_{x}-s_{i-1})$

= $\sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{x} - \sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{i-1}$

= $s_{x}\sum_{i=1}^{x}d_{i} - \sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{i-1}$

則該式子和問題1的式子變得一模一樣，該問題就解決了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],s[N],val1[N],val2[N],n;
//樹狀數組部分， val1維護d , val2維護 di * si-1
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void update(int x,int v,int *val){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        val[i]+=v;
}
int sum(int x,int *val){
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=val[i];
    return ans;
}
int main(){

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){  //設a的初始值爲0，這裏輸入的是b
        int x;
        scanf("%d",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    int m;
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int op,x,y,v;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1) {
            scanf("%d",&v);
            update(x,v,val1);
            update(y+1,-v,val1);
            update(x,v*s[x-1],val2);
            update(y+1,-v*s[y],val2);
        } else {
            int ans;
            ans = s[y]  *sum(y,val1)   - sum(y,val2);
            ans-= s[x-1]*sum(x-1,val1) - sum(x-1,val2);
            printf("%d\n",ans);
        }

    }
    return 0;
}
/**給出一組測試數據
6
1 2 3 4 5 6
4
1 2 3 3
2 3 4
1 1 5 3
2 2 6
*/