树状数组的区间修改和区间查询问题

本文章适合已经会基本的树状数组用法看。

树状数组最经常的两个操作：单点更新，区间求和
如果要区间更新怎么办？
参考文章：https://www.cnblogs.com/kickit/p/9172189.html

（问题一）给定数组 a，有 2 种操作

1. 将区间 [l,r] 的 a 加上 v
2. 求区间 $\sum_{i=l}^{r}a_{i}$

解法上面博客已经说明，就不再加以说明。

（问题二）给定数组a,b；有 2 种操作，

1. 将区间 [l,r] 的 a 加上 v

2. 求 $\sum_{i=l}^{r}a_{i}*b_{i}$

分析：
该问题直接差分是不行的，因为多了一个权值b，然而因为要进行区间修改操作，我们依然可以先化成差分的形式。
设 $d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$

$\sum_{i=1}^{x}a_{i}*b_{i}$ = $\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{i}d_{j}*b_{i}$

这个式子直观上不太好看，我考虑将他拆开（数学太差，只能靠肉眼观察QaQ）

= $b_{1}(d_{1})+b_{2}(d_{1}+d_{2})+..+b_{x}(d_{1}+d_{2}+..+d_{x})$

肉眼发现将 d 提出来会得到一个有意思的东西

= $d_{1}(b_{1}+b_{2}+..+b_{x})+d_{2}(b_{2}+..+b_{x})+..+d_{x}(b_{x})$

设 $s_{i} = \sum_{j=1}^{i}b_{j}$

上式

= $\sum_{i=1}^{x}d_{i}*(s_{x}-s_{i-1})$

= $\sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{x} - \sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{i-1}$

= $s_{x}\sum_{i=1}^{x}d_{i} - \sum_{i=1}^{x}d_{i}*s_{i-1}$

则该式子和问题1的式子变得一模一样，该问题就解决了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],s[N],val1[N],val2[N],n;
//树状数组部分， val1维护d , val2维护 di * si-1
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void update(int x,int v,int *val){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        val[i]+=v;
}
int sum(int x,int *val){
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=val[i];
    return ans;
}
int main(){

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){  //设a的初始值为0，这里输入的是b
        int x;
        scanf("%d",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    int m;
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int op,x,y,v;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1) {
            scanf("%d",&v);
            update(x,v,val1);
            update(y+1,-v,val1);
            update(x,v*s[x-1],val2);
            update(y+1,-v*s[y],val2);
        } else {
            int ans;
            ans = s[y]  *sum(y,val1)   - sum(y,val2);
            ans-= s[x-1]*sum(x-1,val1) - sum(x-1,val2);
            printf("%d\n",ans);
        }

    }
    return 0;
}
/**给出一组测试数据
6
1 2 3 4 5 6
4
1 2 3 3
2 3 4
1 1 5 3
2 2 6
*/