bzoj 1874 取石子游戲 題解 & SG函數初探

【原題】

1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戲

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 334  Solved: 122
[Submit][Status]

Description

小H和小Z正在玩一個取石子游戲。 取石子游戲的規則是這樣的，每個人每次可以從一堆石子中取出若干個石子，每次取石子的個數有限制，誰不能取石子時就會輸掉遊戲。 小H先進行操作，他想問你他是否有必勝策略，如果有，第一步如何取石子。

Input

輸入文件的第一行爲石子的堆數N 接下來N行，每行一個數Ai，表示每堆石子的個數 接下來一行爲每次取石子個數的種類數M 接下來M行，每行一個數Bi，表示每次可以取的石子個數，輸入保證這M個數按照遞增順序排列。

Output

輸出文件第一行爲“YES”或者“NO”，表示小H是否有必勝策略。 若結果爲“YES”,則第二行包含兩個數，第一個數表示從哪堆石子取，第二個數表示取多少個石子，若有多種答案，取第一個數最小的答案，若仍有多種答案，取第二個數最小的答案。

Sample Input

4
7
6
9
3
2
1
2

Sample Output

YES
1 1

Hint
樣例中共有四堆石子，石子個數分別爲7、6、9、3，每人每次可以從任何一堆石子中取出1個或者2個石子，小H有必勝策略，事實上只要從第一堆石子中取一個石子即可。

數據規模和約定
數據編號 N範圍 Ai範圍 數據編號 N範圍 Ai範圍
1 N=2 Ai≤10 6 N≤10 Ai≤10
2 N=2 Ai≤1000 7 N≤10 Ai≤100
3 N=3 Ai≤100 8 N≤10 Ai≤1000
4 N≤10 Ai≤4 9 N≤10 Ai≤1000
5 N≤10 Ai≤7 10 N≤10 Ai≤1000
對於全部數據，M≤10，Bi≤10

HINT

Source

Day2

【分析】其實我是心血來潮想大概學一下博弈論有關的題目。

博文推薦：http://www.cnblogs.com/frog112111/p/3199780.html

首先是最簡單的Nim遊戲：有N堆石子，每次從一堆中取出不爲空的石子，不能取者爲負。判斷先手是否必勝。有一個小小的結論：後手必勝當且僅當所有石子的異或和爲0。

再麻煩一點。規定每次取的石子個數，比如每次只能取1,3,4。我們先考慮只有一堆石子。

（以下摘自那個博客）

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Grundy函數g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼 },這裏的g（x）即sg[x]

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1時，可以取走1-f{1}個石子，剩餘{0}個，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2時，可以取走2-f{1}個石子，剩餘{1}個，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3時，可以取走3-f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4時，可以取走4-f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5時，可以取走5-f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此類推.....
   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....
sg[x]        0  1  0  1  2  3  2  0  1....

在這裏，那個異或和的結論還是正確的。如果sg[N]=0，那麼就存在後手必勝的策略。

但是如果有多堆石子，應該怎麼辦？直接把所有的SG全部異或起來，也是判斷是否是0。

知道了這些結論，那道題也就成了傻題。前面是裸的SG，後面再枚舉一下即可。

【代碼】

#include<cstdio>
#define N 1005
using namespace std;
int sg[N],f[N],hash[N],a[N],sum,temp,i,j,n,m;
void get_SG(int up)
{
  sg[0]=0;
  for (int i=1;i<=up;i++)
  {
    for (int j=1;f[j]<=i&&j<=m;j++)
      hash[sg[i-f[j]]]=i;
    for (int j=0;j<=up;j++)
      if (hash[j]!=i) {sg[i]=j;break;}
  }
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (i=1;i<=n;i++) 
    scanf("%d",&a[i]);
  scanf("%d",&m);
  for (i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d",&f[i]);
  get_SG(1000);
  for (i=1;i<=n;i++) sum^=sg[a[i]];
  if (!sum) {printf("NO");return 0;}
  for (i=1;i<=n;i++) 
  {
    temp=sum^sg[a[i]];
    for (j=1;f[j]<=a[i]&&j<=m;j++)
      if (!(temp^sg[a[i]-f[j]]))
      {
        printf("YES\n%d %d",i,f[j]);
        return 0;
      }
  }
}