opencv圖像分析與處理（11）- 頻率域濾波消除週期噪聲

本節爲opencv數字圖像處理（11）：圖像復原與重建的第二小節，頻率域濾波消除週期噪聲，主要包括：帶阻濾波器、帶通濾波器、陷波濾波器以及最佳陷波濾波器的數學推導。

  頻率域技術濾除週期噪聲可行的原因是週期噪聲在對應於週期干擾的頻率處，以集中的能量脈衝形式出現。濾除的方法之一是選擇性濾波器（帶阻、帶通和陷波）。

1. 帶阻濾波器

  理想、巴特沃斯和高斯帶阻濾波器表達式如下表:

  濾波器的透視圖如下：

  帶阻濾波器的主要應用之一是在頻率域噪聲分量的一般位置近似已知的應用中消除噪聲。如下圖1所示，被正弦噪聲污染的圖像，噪聲分量可看成是下圖2中的傅里葉頻譜中對稱的亮點對，而且噪聲分量位於關於變換原點的近似圓上，因此可使用圓對稱帶阻濾波器，如下圖3所示（4階的巴特沃斯帶阻濾波器），通過設置適當的半徑和寬度，其完全包圍了噪聲脈衝，並且帶組濾波中通常要求尖銳的窄濾波器以保持更多的細節，結果如下圖4所示：

2. 帶通濾波器

  帶通濾波器和帶阻濾波器執行的操作相反，但是通常不會在一幅圖像上直接執行帶通濾波【會消除太多的圖像細節】。然而帶通濾波在一幅圖像中屏蔽選中頻段導致的效果非常有用。

  我們可以在上圖1上應用與帶阻濾波器相對應的帶通濾波器然後取帶通濾波變換的反變換，得到上圖1中的噪聲圖案，如下圖所示：

3. 陷波濾波器

  陷波濾波器阻止或通過事先定義的中心頻率的鄰域內的頻率，如下圖所示，展示了理想、巴特沃斯和高斯陷波帶阻濾波器的三維圖：

  由於傅立葉變換的對稱性，陷波濾波器必須以關於原點對稱的形式出現【如果陷波濾波器位於原點處陷波濾波器是其本身】。同樣，也可以得到陷波帶阻濾波器相對應的陷波帶通濾波器通過而不是已知陷波區域中所包含頻率的陷波濾波器。

4. 最佳陷波濾波

  當存在幾種干擾分量時上面討論的濾波過程會消除過多的圖像細節，而且此時干擾成分通常不是單頻脈衝【通常攜帶干擾模式信息的寬邊緣】。這種情況下可應用最佳陷波濾波的方法，第一步屏蔽干擾的主要成分，第二步是從被污染的圖像中減去該模式的一個可變的加權部分。

  第一步是提取干擾模式的主頻率分量，這可以通過在每個尖峯處放置一個陷波帶通濾波器$H_{NP}(u,v)$來完成。如果濾波器構建爲只可通過與干擾模式相關的分量，那麼幹擾噪聲模式的傅立葉變換如下：

  $H_{NP}(u,v)$的形式需要多方面判斷那些是尖峯噪聲干擾，爲此需要觀察顯示的$G(u,v)$（被污染圖像的傅立葉變換）的頻譜來交互地創建陷波帶通濾波器。選擇一個特殊的濾波器後，空間域的相應模式可由下式獲得：

  因爲被污染圖像假設是由未污染圖像$f(x,y)$與干擾相加形成的，若$\eta(x,y)$完全一致，則從$g(x,y)$上減去該干擾模式得到$f(x,y)$即可。但通常我們得到的是$\eta$的一個估計值，因此，可以從$g(x,y)$上減去$\eta(x,y)$的一個加權部分得到$f(x,y)$的近似值，如下式:

  $w(x,y)$爲加權函數或調製函數，一種確定該函數的方法是使得$\hat f(x,y)$在每一點$(x,y)$的指定鄰域上的方差最小。

  考慮關於點$(x,y)$的大小爲$(2a+1)(2b+1)$的鄰域，座標$(x,y)$處，$\hat f(x,y)$的局部方差可根據樣本估計，如下：

  其中$\bar {\hat f}(x,y)$是該鄰域內$\hat f$的平均值，即：

  圖像邊緣或接近圖像邊緣的點，可以用局部鄰域或者0來填充。

  將上3式代入上2式，可以得到：

  因爲$w(x,y)$在鄰域內基本保持不變，則當$-a\leq s \leq a$和$-b \leq t\leq b$時給出近似式：
$w(x+s,y+t)=w(x,y)$
  這樣可在該鄰域內得到：

  則上3式變爲：

  最小化$\sigma^2(x,y)$，解$\frac{\partial \sigma^2(x,y)}{\partial w(x,y)}=0$得到$w(x,y)$:

  這樣，要獲得復原圖像$\hat f(x,y)$，可根據上式計算$w(x,y)$再計算得。如果調製函數在某一鄰域假設爲常量，則只需在每個非重疊鄰域的中心點計算$w(x,y)$，然後用他處理鄰域內的所有點。

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