《線性代數》——讀書筆記2

第二章 矩陣

寫在前面的話,當初去北大面試的時候,那老師問了我好些矩陣的知識,我也真是醉醉的,他和我說知道就說,不知道也沒關係,我就想問沒關係那你還問個什麼=-=,現在趕緊好好複習下,省的以後再被問到=_=
話說矩陣這邊的東西怎麼這麼多=-=
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2.1 矩陣的概念

定義 2.1.1數域P上m×n 個數aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 排成的m行n列數表稱爲一個m行n列矩陣,或稱爲m×n矩陣,簡記爲(aij)m×n(aij) 。其中aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 稱爲這個矩陣中第i行、第j列的元素。當P是實數域時,稱矩陣爲實矩陣;當P是複數域時,稱矩陣爲復矩陣

行矩陣、列矩陣
零矩陣
n階矩陣 及其行列式
單位矩陣——主對角線上爲1,其他元素爲0;
對角形矩陣、數量矩陣——主對角線上的數相同的對角型矩陣
上(下)三角形矩陣

2.2 矩陣的運算

2.2.1 矩陣的加法與數乘

定義 2.2.1 兩個矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)s×t ,如果m=s,n=t,則稱A與B是同型矩陣;若同型矩陣的對應元素相等,則稱A與B相等,記作A=B。
定義 2.2.2 設矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)m×n ,稱矩陣(aij+bij)m×n 爲矩陣A與B的和,記作

A+B=(aij+bij)m×n

定義 2.2.3 設矩陣A=(aij)m×n,k 是一個數。數k與矩陣A的每個元素相乘後得到的矩陣(kaij)m×n 稱爲數k與矩陣A的數量乘積,簡稱爲數乘,記作
kA=Ak=(kaij)m×n

同理矩陣的減法,以及這些運算的運算規律可以得出

2.2.2 矩陣的乘法

定義 2.2.4 設矩陣A=(aij)m×k,B=(bij)k×n.C=(cij)m×n 其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aikbkj=t=1kaitbtj(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)
稱矩陣C是A和B的乘積,記作C=AB。
注:只有當左乘矩陣A的列數等於右乘矩陣B的行數時,乘積AB纔有意義。
注:乘積矩陣AB的行數等於左乘矩陣A的行數,AB的列數等於右乘矩陣B的列數。
首先,矩陣乘法不滿足交換律;其次,矩陣乘法不滿足消去率。最後兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。
定義 2.2.5 設A是n階矩陣,k爲正整數,定義k個A的連乘積爲A的k次冪,記作Ak ,規定A0=E
定理 2.2.1 設A,B均爲n階方陣,k爲常數,則
|kA|=kn|A||AB|=|A||B|

推論A1,A2,...,Am 是m個n階方陣,則
|A1A2...Am|=|A1||A2|...|Am|

2.2.3 矩陣的轉置

定義 2.2.6m×n 階矩陣A,將矩陣A的行列互換,而不改變其先後次序得到的n×m 矩陣,稱爲矩陣A的轉置矩陣,記爲AT (或A
矩陣的轉置可以看成矩陣的一種運算,這種運算具有如下性質:
1. (AT)T=A;
2. (A+B)T=AT+BT;
3. (kA)T=kAT(k);
4. |AT|=|A|(A);
5. (AB)T=BTAT;
定義 2.2.7A=(aij) 是n階方陣,如果

AT=A,aij=aji(i,j=1,2,...,n)
則稱A爲對稱矩陣;如果
AT=A,aij=aji(i,j=1,2,...,n)
則稱A爲反對稱矩陣。

2.3 逆矩陣

2.3.1 逆矩陣的概念

定義 2.3.1 設A是n階方陣,若有一個n階方陣B,是的

AB=BA=E
則B稱爲A的逆矩陣,A稱爲可逆矩陣,或非奇異矩陣。
注:由定義可知,可逆矩陣一定是方陣。
定理 2.3.1 若A是一個n階可逆矩陣,則它的逆矩陣是唯一的。
定義 2.3.2A=(aij)n×n,Aij 爲行列式|A|中元素aij 的代數餘子式,稱
A=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann

爲矩陣A的伴隨矩陣
設A爲n階矩陣,有
AA=a11a21an1a12a22an2a1na2nannA11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann=|A|000|A|000|A|=|A|E

同理AA=|A|E ,於是得到
AA=AA=|A|E

定理 2.3.2 n階矩陣A可逆的充分必要條件是|A|0 ,且A可逆時,有
A1=1|A|A

注:提供了求可逆矩陣的逆矩陣的公式。它主要用於理論證明、計算介紹階數較低的矩陣以及一些特殊矩陣的逆矩陣
推論 設A與B都是n階方陣,若AB=E,則A,B都可逆,並且A1=B,B1=A

可逆矩陣的性質
1. 若A可逆,則A1 可逆,且(A1)1=A
2. 若n階矩陣A,B都可逆,則AB可逆,且

(AB)1=B1A1

3. 若A可逆,則|A1|=|A|1
4. 若A可逆,則(AT)1=(A1)T
5. 若A可逆,數k0 ,則(kA)1=1kA1
6. 若A可逆,且AB=O,則B=O 說明一個爲可逆矩陣時,另一個矩陣必爲零矩陣
7. 若A可逆,且AB=AC,則B=C 說明,對於可逆矩陣而言,矩陣乘法消去律成立

2.3.2 正交矩陣

定義 2.3.3 設A爲實數域R上的方陣,如果他滿足AAT=ATA=E ,則稱A爲正交矩陣。
定理 2.3.3 實數域R上的方陣A爲正交矩陣的充要條件是A1=AT

正交矩陣的性質
1. 若A爲正交矩陣,則|A|=1|A|=1
2. 正交矩陣的逆矩陣及轉置矩陣仍爲正交矩陣
3. 若A,B是同階正交矩陣,則AB也是正交矩陣
4. 正交矩陣的每行(列)元素的平方和等於1,不同兩行(列)的對應元素乘積之和等於0

2.4 分塊矩陣(瞭解)

2.4.1 分塊矩陣的概念

定義 2.4.1 設A是一個矩陣,用貫穿於A的縱線和橫線按某種需要將其劃分成若干個階數較低的矩陣,這種矩陣稱爲A的子塊子矩陣。以這些子塊爲元素構成的矩陣稱爲A的分塊矩陣

2.4.2 分塊矩陣的運算

  1. 分塊矩陣的加法、數乘與轉置
    分塊矩陣是同型矩陣,並且每個子塊也是同型矩陣。加法、數乘和轉置對分塊矩陣進行之後對每個塊也要進行相同的運算。
  2. 分塊矩陣的乘法
    設矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n ,用分塊矩陣計算A,B的成績AB時,要使Ade列的分法與B的行的分法一致,這樣確保塊間的乘法也要意義。
  3. 準對角型矩陣
    定義 2.4.2 設A爲n階方陣,如果他的分塊矩陣具有如下形式:
    A=A1A2As
    其中,As(i=1,2,...,s)nsi=1ni=n,A

兩個n階準對角型矩陣(子塊也爲同階方陣)A,B,有如下性質:
1. A+B爲對應子塊相加
2. AB爲對應子塊相乘
3. |A|=|A1||A2|...|As|;
4.

A1A2As1=A11A12A1sAs...A2A11=A11A12...A1s

2.5 初等變換與初等矩陣

2.5.1 矩陣的初等變換

定義 2.5.1 矩陣A的下列變換稱爲它的初等行(列)變換:互換、倍乘、倍加。
定義 2.5.2 如果矩陣A經過有限次初等變換化爲矩陣B,則稱A與B等價,記爲AB ,或AB
等價的性質
1. 自反性 AA
2. 對稱性 若AB ,則BA
3. 傳遞性 若AB,BC ,則AC
具有以上三種基本性質的關係,稱爲等價關係
定義 2.5.3 如果矩陣A滿足下列條件:
1. 若有零行,則零行全在矩陣A的下方;
2. A的各費領航的第一個非零元素的列序數小於下一行中第一個非零元素的列序數,則稱A爲行階梯形矩陣,或階梯形矩陣
如果滿足上述條件外,還滿足:各非零行的第一個非零元素均爲1,所在列的其他元素都爲零,則稱該矩陣爲簡化階梯形矩陣
定理 2.5.1 任何非零矩陣都可以通過初等行變換化爲階梯形。
定理 2.5.2 任意非零矩陣A=(aij)m×n 都與他的標準形等價,即存在矩陣(ErOOO)m×n ,使A(ErOOO)m×n 。其中,Er 爲r階單位矩陣,1rmin{m,n}

2.5.2 初等矩陣

定義 2.5.4 由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱爲初等矩陣。即:互換、倍乘、倍加初等矩陣。
初等矩陣的性質如下:
1. 初等矩陣的轉置矩陣仍爲同類型的初等矩陣;
2. 初等矩陣都是可逆矩陣;
3. 初等矩陣的逆矩陣仍爲初等矩陣,且

E1(i,j)=E(i,j),E1(i(k))=E(i(1k)),E1(i,j(k))=E(i,j(k))

定理 2.5.3 設A是一個m×n 階矩陣,對A作一次初等行變換,相當於在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣;對A作一次初等列變換,相當於在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。(左乘行變,右乘列變)
定理 2.5.4 m×n 階矩陣A與B等價 有m階初等矩陣P1,P2,...,Ps 與n階初等矩陣Q1,Q2,...,Qt 使得
Ps...P2P1AQ1Q2...Qt=B

若記P=Ps...P2P1,Q=Q1Q2...Qt, 則P爲m階可逆矩陣,Q爲n階可逆矩陣,於是:
推論 1 m×n 階矩陣A與B等價 存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q使得

PAQ=B

推論 2 對於任意非零m×n 階矩陣A,必存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q,使得
PAQ=(ErOOO)A

推論 3 若A爲n階可逆矩陣,則AE
推論 4 n階矩陣A可逆的充分必要條件是它可以表示成有限個初等矩陣的乘積。

2.5.3 分塊矩陣的初等變換

同樣的三種分塊初等矩陣。在此不再詳述。

2.6 矩陣的秩

2.6.1 矩陣的秩的概念

定義 2.6.1 在矩陣A中,任取k行、k列(1kmin{m,n}) ,由這些行列交叉處的k2 個元素按原來的順序構成的k階行列式,稱爲矩陣A的一個k階子式。
定義 2.6.2 若在m×n 階矩陣A中,有一個r階子式不爲零,而所有的r+1階子式(若存在)都爲零,則稱r爲矩陣A的秩,記爲R(A)=r
定理 2.6.1 n階方陣A的秩爲n的充分必要條件是A爲可逆矩陣。
矩陣可逆,非奇異,滿秩是三個相互等價的概念。

2.6.2 用初等變換求矩陣的秩

定理 2.6.2 初等變換不改變矩陣的秩。
推論 1 兩個同型矩陣A與B等價的充分必要條件是R(A)=R(B)
推論 2 設A爲m×n 階矩陣,P和Q分別爲m階和n階可逆矩陣,則

R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)

定理 2.5.2告訴我們,任意非零矩陣A都可以經過有限次初等變換化爲標準形(ErOOO)
由矩陣等價的對稱性和傳遞性以及定理2.6.2的推論1可知,它的標準形是唯一的,且R(A)=r

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