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题目大意

给定n≤100 个人，每轮随机选取一个人，每个人被选的概率为pi(精度为0.01),∑pi=1 ,游戏结束当且仅当每个人被抓住一次或以上，问，在最优策略下，期望结束轮数是多少，要求答案精度为10−6 。

解题思路

设fi,j 表示第i 轮结束之后，第j 个人被抓过的概率。

设gi 表示第i 轮结束之后，所有人都被抓过的概率。
显然gi=∏nj=1fi,j .

∵Ans=∑+∞i=1i∗(gi−gi−1)
∴ 最优策略就是，尽量使得i 较小时，gi−gi−1 较大。

先看看fi,j 和fi−1,j 的关系。
1)fi,j=fi−1,j ,第i 轮不选j .
2)fi,j=fi−1,j+(1−fi−1,j)∗pj ,第i 轮选j .

∴gi=gi−1∗fi,j/fi−1,j
只要求fi,j/fi−1,j 最大即可，这个可以枚举，或者用数据结构维护。

其实3∗105 轮过后答案就不会再有大于10−6 的误差了。

误差分析

gt≥ (1−0.99t/100)100 ≥1−100⋅0.99t / 100.
∑+∞t=N+11−gt≤100∗∑+∞t=N+10.99t/100 .
所以大概3∗105 次运算之后答案就精准了。

参考代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 105
#define lim 300000
#define ld long double
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps 1e-15
using namespace std;

ld f[2][maxn];

ld g[2],ans;

ld p[maxn];

int n;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) {
        cin>>p[i];
        p[i]/=100;
    }
    int last=0,now=1;
    fo(i,1,lim) {
        last^=1;
        now^=1;
        ld best=0;
        int w=0;
        fo(j,1,n) {
            ld thi=(1-f[last][j])*p[j]/f[last][j];
            if (thi>best) {
                best=thi;
                w=j;
            }
        }
        fo(j,1,n) {
            if (j==w) {
                f[now][j]=f[last][j]+(1-f[last][j])*p[j];
            }
            else {
                f[now][j]=f[last][j];
            }
        }
        if (f[last][w]<eps) {
            g[now]=1;
            fo(j,1,n) g[now]=g[now]*f[now][j];
        }
        else g[now]=g[last]*f[now][w]/f[last][w];
        ans=ans+(g[now]-g[last])*i;
    }
    double pri=ans;
    printf("%.16lf",pri);
    return 0;
}