最小生成樹-prim

最小生成樹

首先明白兩個概念，什麼是生成樹以及最小生成樹？
相關概念引入：

1. 連通：如果頂點v和v’之間由路徑，則稱v和v’是連通的
2. 連通圖：如果圖中任意兩個頂點都是連通的，則稱其爲連通圖
3. 連通子圖：子圖中的頂點爲原圖的子集，且子圖是連通的

生成樹： 一個極小連通子圖，它包含圖中所有頂點，但是僅包含n-1條邊（n爲頂點個數）
最小生成樹： 在生成樹的基礎上，其各邊權值之和最小

如何構建生成樹？

MST性質： 假設N是一個連通網，U是頂點集V的一個非空子集。若（u, v）是一條具有最小權值的邊，其中u屬於U，v屬於V-U，則必存在一棵包含邊（u，v）的最小生成樹。
最小生成樹要求：

• 包含圖中所有頂點
• n個頂點僅包含n-1條邊
• 各邊權值之和最小

先看要求三：權值之和最小，即每次選擇權值最小的邊即可。要求二：即保證圖中不存在環。要求一：每個頂點都要被選中。下面基於prim算法介紹如何構建最小生成樹。

prim算法

構造過程:

1. 首先選擇一個開始頂點（因爲最小生成樹要求是包含所有頂點，因此選擇哪個開始頂點並不會影響最終結果）
2. 將選中頂點放入集合U中，選擇集合U中的頂點到V-U中的最短路徑。
3. 將選中的頂點（V-U內的頂點）放入集合U
4. 重複步驟2、3，直至U = V
   

如上圖所示：首選頂點V1，將V1加入集合U。選擇V1到V-U內頂點距離最短的頂點V3，將V3加入集合U。選擇U內頂點到V-U內頂點距離最近的頂點，這裏需要注意的是：是從全局的角度選擇，不是從單一頂點選擇最近的頂點。例如上圖，選擇V4結束，沒有可選的後，並沒有回溯到V6，選擇V6的鄰接點，而是選擇了V3->V2，因爲V3->V2的距離爲5，而V6->V5的距離爲6。重複上述步驟，直至圖f所示（U = V）。

算法步驟：

首先我們選擇鄰接矩陣存儲圖中各頂點間的關係。使用一個標記數組flag，標記加入U內的頂點。爲了避免重複掃描，可以藉助兩個數組一個記錄U內頂點到V-U內頂點的最短距離，另一個記錄V-U內頂點到U內的最鄰接點。

1. 初始化上述各數組，存儲圖的二維矩陣每個元素初始化爲無窮大。標記數組全爲false（表示U內無頂點）。記錄距離和鄰接點的數組全爲0。
2. 給出圖中各頂點之間的關係，且給出開始頂點
3. 根據開始頂點更新U到V-U內各頂點的距離（鄰接矩陣對應行與各鄰接點之間的關係），以及記錄鄰接點的數組
4. 找出記錄距離數組中到U到V-U內頂點的最小值，對應頂點加入U，更新U到V-U內頂點的距離關係和鄰接點關係
5. 重複步驟4，直至U = V

代碼示例：

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX_SIZE 100
#define INT 1e7
int graph[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
bool flag[MAX_SIZE];
int close[MAX_SIZE];
int low[MAX_SIZE];

void init_array(){
 	for(int i = 0; i < MAX_SIZE; i++){
  		for(int j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
   			graph[i][j] = INT;
 	}
}
void init_graph(int m){
 	for(int i = 0; i < m; i++){
  		int x, y, z;
 	 	cin >> x >> y >> z;
  		graph[x][y] = z;
  		graph[y][x] = z;
 	}
}
void prim(int n, int s){
 	flag[s] = true;
 	for(int i = 1; i <= n; i++){
  		if(i != s){
   			close[i] = 1;
   			low[i] = graph[s][i];
  		} 
 	}
 	for(int i = 1; i <= n; i++){
  		int min = INT, t = -1;
  		for(int j = 1; j <= n; j++){
   			if(!flag[j] && low[j] < min){
    				min = low[j];
    				t = j;
   			}
  		} 
  		if(t == s) return;
  		flag[t] = true;
  		for(int j = 1; j <= n; j++){
   			if(!flag[j] && graph[t][j] < low[j]){
    				low[j] = graph[t][j];
    				close[j] = t;
   			}
  		}
 	} 
}
int calculate_weight(int n){
 	int sum = 0;
 	for(int i = 1; i <= n; i++)
  		sum += low[i];
 	return sum;
}

int main(){
 	int n, m, s;
 	cin >> n >> m >> s;
 	init_array();
 	init_graph(m);
 	prim(n, s);
 	calculate_weight(n);
 	return 0;
}

觀察代碼，每次查找最小值要O(n)的時間，此外共需要執行n次，因此時間複雜度爲O(n^2)。