目錄
1、平衡二叉樹（BBT,Binary Balance Tree）的定義
1、平衡二叉樹（BBT,Binary Balance Tree）的定義
爲了避免樹的高度增長過快，降低二叉排序樹的性能，規定在插入和刪除二叉樹結點時，要保證任意結點的左、右子樹高度差不超過1，將這樣的二叉樹稱爲平衡二叉樹，簡稱平衡樹。定義結點左子樹與右子樹的高度差爲該結點的平衡因子，則平衡二叉樹結點的平衡因子的值只可能是-1、0或1。
因此，平衡二叉樹可定義爲或者使一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹。且左子樹和右子樹的高度差的絕對值不超過1。
圖35-1 平衡二叉樹與不平衡的二叉樹（結點中的值爲該結點的平衡因子）
2、平衡二叉樹的插入
二叉排序樹保證平衡的基本思想如下：每當在二叉排序樹中插入（或刪除）一個結點時，首先檢查其插入路徑上的結點是否因爲此次操作導致了不平衡。若導致了不平衡，則先找到插入路徑上距離插入結點最近的平衡因子的絕對值大於1的結點A，再對以A爲根的子樹，在保持二叉排序樹特性的前提下，調整各結點的位置關係，使之重新達到平衡。
注意：每次調整的對象都是最小不平衡子樹，即以插入路徑上離插入結點最近的平衡因子的絕對值大於1的結點作爲根的子樹。圖
35-1中的虛線框內未最小不平衡子樹。
圖35-1 最小不平衡子樹
平衡二叉樹的插入過程的前半部分與二叉排序樹相同，但在新結點插入後，若造成查找路徑上的某個結點不再平衡，則需要作出相應調整。可將調整規律歸納爲下列4種情況：
2.1、LL平衡旋轉（右單旋轉）。
由於在結點A的左孩子（L）的左子樹（L）上插入了新結點，A的平衡因子由1增至2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要一次向右的旋轉操作。將A的左孩子B向右上旋轉代替A成爲根節點，將A結點向右下旋轉稱爲B的右子樹的根節點，而B的原右子樹成爲A結點的左子樹。
圖35-2 LL平衡旋轉
2.2、RR平衡旋轉（左單旋轉）
由於在結點A的右孩子（R）的右子樹（R）上插入新結點，A的平衡因子由-1變成了-2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要一次向左的旋轉操作，將A的右孩子B向左上旋轉提到A成爲根節點，將A結點向左下旋轉成B的左子樹的根節點。而B的原左子樹則作爲A結點的右子樹。如圖35-3所示。
圖35-3 RR平衡旋轉
3）LR平衡旋轉（先左後右雙旋轉）
由於在A的左孩子（L）的右子樹（R）上插入新結點，A的平衡因子由1增加至2。導致以A爲根的子樹失去平衡，需要進行兩次旋轉操作，先左旋轉後右旋轉。先將A結點的左孩子B的右子樹的根節點C向左上旋轉提升到B結點的位置，然後再將該C結點向右上旋轉提升到A結點的位置，A結點右下旋轉稱爲新的根節點C的右子樹的根節點，C的原來右子樹則作爲A結點的左子樹，C的原來的左子樹作爲C的新的左子樹的根節點B的右子樹。
圖35-4 LR平衡旋轉
2.4、RL平衡旋轉（先右後左雙旋轉）
由於在A的右孩子（R）的左子樹（L）上插入新結點，A的平衡因子由-1減至-2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要兩次旋轉操作，先右旋轉後左旋轉，先將A結點的右孩子的B的左子樹的根節點C向右上旋轉提升到B結點的位置，然後再把該C結點向左上旋轉提升到A結點的位置。A結點左下旋轉稱爲新的根節點C的左子樹的根節點。C的原來左子樹成爲新的根節點C的左子樹的根節點A的右子樹。而C原來的右子樹成爲根節點C的右子樹的根節點B的左子樹。
圖35-5 RL平衡旋轉
假設關鍵字序列爲{15,3,7,10 .9.8}，通過該序列生成平衡二叉樹的過程如圖35-6所示。在圖35-6(d)插入7後導致不平衡，最小不平衡子樹的根爲15，插入位置爲其左孩子的右子樹，故執行LR旋轉，先左後右雙旋轉，調整後的結果如圖35-6(e)所示。在35-6中插入9後導致不平衡，最小不平衡子樹的根爲15，插入位置爲其左孩子的左子樹，故執行LL旋轉，右單旋轉，調整後的結果如圖35-6(h)所示。圖35-6(i)插入8後導致不平衡，最小不平衡子樹的根爲7，插入位置爲其右孩子的左子樹，故執行RL旋轉，先右後左雙旋轉，調整後的結果如圖35-6(j)所示。
圖35-6 平衡二叉樹的生成過程
3、平衡二叉樹的查找
在平衡二叉樹上進行查找的過程與二叉排序樹的相同。因此，在查找過程中，與給定值進行比較的關鍵字個數不超過樹的深度。假設以Nh表示深度爲h的平衡樹中含有的最少結點數。顯然，有N0=0，N1=1，N2=2，並且有Nh=Nh-1+Nh-2+1。可以證明，含有n個結點的平衡二叉樹跟屬於的最大深度爲O(log2n)，因此平衡二叉樹的平均查找長度爲O(log2n)，如圖35-7所示。
圖35-7 結點個數n最少的平衡二叉樹