人智導（四）：約束滿足問題

人智導（四）：約束滿足問題

約束滿足問題(Constraint Satisfaction Problem)

• 一種結構化的、簡單而標準模式的問題表示
• 狀態被描述爲一系列變量$X_i$（對應的值域爲$D_i$）
• 目標測試：一個約束集，描述這些變量或子集允許的取值

CSP問題的定義

約束滿足問題的定義：

• 變量集合：$\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$；約束集合：$\{C_1,C_2,\dots ,C_n\}$。$X_i$對應的值域爲$D_i$；$C_i$爲一些變量間的約束關係。
• 一個狀態：部分或全部變量的一個賦值
• 完全賦值：每個變量都進行賦值（完全狀態complete state）
• 問題的解：滿足所有約束的完全賦值

約束滿足問題：地圖着色(map coloring)

如圖

• 狀態變量：WT, NT, Q, NSW, V, SA, T
• 值域：$D=\{red,~green,~blue\}$
• 約束：相鄰區域必須用不同顏色標識
  • 隱式描述：$WA\ne NT$
  • 顯式描述：$(WA,NT)\in \{(red,~green),~(red,~blue),\dots\}$
• 問題的解是滿足約束的變量賦值，如：
  $\{WA=red,~NT=green,~Q=-red,~NSW=green,~V=red,~SA=blue,~T=green\}$

約束滿足問題：八皇后問題

約束規則：同一行或同一列、或統一斜線上不能有兩個或以上的Queens
形式化描述：

• 變量：$X_{ij}$
• 值域：$\{0,1\}$
• 約束：
  • $\forall i,j,k (X_{ij},X_{ik})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k (X_{ij},X_{kj})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k (X_{ij},X_{i+k,j+k})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k (X_{ij},X_{i+k,j-k})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$

約束滿足中的變量與約束

• 變量種類：離散變量 vs 連續變量（現實世界中許多問題涉及實數型變量）
• 約束種類：
  • 一元約束：如$SA\ne green$
  • 二元約束：如$SA\ne WA$
  • 多元約束：涉及三個以上變量的高階約束
• 目標測試：檢查是否滿足所有約束條件

CSP問題的解決

標準搜索方法解決CSP問題

• CSP問題表示：狀態(state)通過變量賦值來定義
  • 初始狀態：沒有任何賦值{}
  • 後繼函數：對一個未有值的變量賦值，不違反約束條件
  • 目標測試：當前狀態賦值已完備，並且滿足所有約束
  • 路徑代價可把每一步代價作爲常數（例如取值爲1）
• CSP問題的解：必須是一個滿足約束的完全賦值，若有n個變量，n也就是解的路徑深度

回溯搜索算法

思路：

• 無信息搜索算法解決CSP
• 一次只給一個變量賦值
• 過程中每步都檢測是否滿足約束（不與之前賦值相沖突）
  算法：

Function BACKTRACKING-SEARCH (csp) returns solution or failure
	return RECURSIVE-BACKTRACKING({},csp)
Function RECURSIVE-BACKTRACKING(assignment, csp) returns solution or failure
	if assignment is complete then return assignment
	var <--- SELECT-UNASSIGNED-VARIABLE(VARIABLES[csp],assignment, csp)
	for each value in ORDER-DOMAIN-VALUES(var assignment, csp) do
		if value is consistent with assignment given CONSTRAINTS[csp] then
			add{var = value} to assignment
			result <--- RECURSIVE-BACKTRACKING(assignment, csp)
			if result != failure then return result
			remove {var = value} from assignment
	return failure

深度優先搜索+有序變量賦值+違反約束即失敗
啓發式：優先選擇合法取值最少變量（最受約束變量）
標準問題求解與完全狀態問題對比

• CSP標準的問題求解：如何發現動作序列，一步一步地達到目標
  • 看作是規劃(plan)問題
  • 達到目標的途徑是重要的
• CSP解決完全狀態問題：如何發現滿足約束的完全賦值
  • 看作是識別(Identification)問題
  • 目標本身是重要的，而途徑不是

完全狀態問題

局部搜索：問題的完整狀態(complete-state)形式表示

• 初始狀態：每個變量均被賦值
• 後繼狀態：每次改變一個變量的值
• 直到發現滿足約束的解

如下圖：

初始狀態違反了約束，採用局部搜索來消除違反的約束
算法：最小衝突算法Min-Conflict

Function MIN-CONFLICTS(csp, max_steps) returns a solution or failure
	inputs:csp
	       max_steps //最大嘗試次數
	current <--- an initial complete assignment for csp
	for i=1 to max_steps do
		if current is a solution for csp then return current
		var <--- a randomly chosen conflicted variable from csp.VARIABLES
		value <--- the value v for var that minimizes CONFLICTS(var, v, current, csp)
		set var = value in current
	return failure

最小衝突算法：每一步搜索爲一個變量賦予新值，啓發式是新值必須與其他變量相沖突的數目最小化。
爬山或模擬退火等局部搜素可以被應用於目標優化。

總結

局部搜索問題

• 局部搜索：只關心目標狀態本身，而非達到目標的途徑
• 僅需少量存儲空間，適於處理大規模的、甚至是連續狀態空間的目標搜索狀態
• 完全狀態(complete state)的形式化描述問題，諸如佈局、調度、最優化問題等方面應用
• 爬山搜索算法、模擬退火算法、局部集束算法
  約束滿足問題
• 從數學意義上定義一種簡單而標準模式的問題形式化表示
• 完全狀態(complete state)的形式化，狀態由一組變量表示
• 約束滿足問題求解：回溯搜索（標準搜索），最小衝突搜索（局部搜索）