（三）流体运动学（质量守恒）

（一）流体运动学的分类

稳定流动和不稳定流动

根据流场中每一空间点上的运动参数是否随着时间的变化而变化判断。

稳定流动仅仅是位置座标的函数，运动参数不随着时间的变化而变化。

分析：保持水箱中水位不变，水从孔口流出的速度就不会随时间改变，属于稳定流动；如果关闭水箱进水阀门，水箱内水位将不断下降，此时水从孔口流出的流速就会随水面的降低而逐渐减小，即随时间而改变，这就是非稳定流动。

均匀流动和非均匀流动

流体流动过程中，如果所有的物理量均不随着空间点座标的变化而变，称为均匀流动；反之，为非均匀流动。均匀流动的流线是相互平行的直线，非均匀流动的流线是曲线或者不相互平行的直线。

区分稳定流动和均匀流动

垂直于流线方向用多个平面去切割，如果平面内的运动参数一样，则可证明是均匀流动。稳定流动不一定是均匀流动。但是均匀流动一定是稳定流动。

一维、二维、三维流动

在设定座标系的时候，有关物理量依赖于一个座标，称为一维流动；依赖两个座标，称为二维流动；依赖三个座标称为三维流动。

（二）迹线、流线

迹线：流体质点在空间运动时的轨迹线。它表达的是流体质点在不同时刻的空间位置。

流线：在某一瞬时流场中假想的一组曲线，曲线上每一点的切线与速度矢量相互重合。

根据流线的定义可以推出流线的微分方程：空间点的速度和流线相切，也就是空间点的速度矢量与流线上微元弧矢量ds的矢量积为0。

即： $\vec{v}*d\vec{s}=0$

有因为： $\vec{v}*d\vec{s}=(v_{y}dz-v_{z}dy)\vec{i}+(v_{z}dx-v_{x}dz)\vec{j}+(v_{x}dy-v_{y}dx)\vec{k}$

所以： $\left\{\begin{matrix} v_{y}dz- v_{z}dy=0&v_{z}dx- v_{x}dz=0 & v_{x}dy- v_{y}dx=0 \end{matrix}\right.$

流线的微分方程： $\frac{dx}{v_{x}}=\frac{dy}{v_{y}}=\frac{dz}{v_{z}}$

流线的性质

在某一时刻，通过流场中某一点只能做一条流线。流线不能转折，也不能彼此相交，因为在空间中每一点只能有一个速度方向。

流线在速度为0的驻点或者速度为无穷大的奇点处可以相交。

在稳定流动中流线和迹线为同一条曲线。

在流场中过空间每一点都有一条流线，所有的流线组成流线簇。由流线簇构成的图形，称为流谱。

流谱不仅可以反映出流体速度的方向还能反应出流速的大小。流线较密集的地方速度大，流线稀疏的地方速度小。

缓变流和急变流

缓变流是指流线之间的夹角比较小或者流线曲率半径比较大的流动。相反，急变流是指流线之间的夹角比较大和流线的曲率半径比较小的流动。

有效断面

指流束或总流上垂直流线的断面。有效断面可能是平面，也可能是曲面。

流管、流束、总流

流管：在流场中任取一条非流线的封闭曲边，通过此曲线上的每一点做某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。由流线的定义可以知道，位于流管表面上的各个流体质点的速度和流管表面相切，没有其法向速度分量，因为流体质点不穿越流体壁。

流束：当封闭曲线所包围的面积无限小的时候，充满微小流管内的流体称为元流或者微小流束。

总流：当封闭曲线取在运动流体的边界上时，则充满流管内的流体称为总流。

流量、平均流速、水力半径

流量：单位时间内通过过流断面的流体量。

流体量可以用体积、质量表示，其相应的流量分别叫做体积流量和质量流量。

对于元流，由于过流断面dA非常小，可近似认为元流过流断面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流的流量为dq=vdA。v为点速度。

总流的流量为： $q=\int vdA$

断面平均流速：作为一维流动，常采用断面平均速度值代替各点的实际流速，称为断面平均流速。断面平均流速是体积流量和过流断面面积之比，即：

$\bar{v}=\frac{q}{A}=\frac{\int udA}{A}$

水力半径

在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁轴承称为湿周，用 $\chi$ 表示。总流过流断面面积与湿周 $\chi$ 之比称为水力半径R，即： $R=\frac{A}{\chi }$

（三）研究流体运动的两种方法

拉格朗日法
欧拉法

拉格朗日法

拉格朗日法主要研究流体质点，跟踪流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随着时间变化的规律。又称为轨迹法。通常以流体质点的初始座标点作为区别不同的流体质点的标志。假设t0时刻流体质点的座标值为（a,b,c）.

流体质点的空间位置、密度、压强和温度可以表示为：

$\left\{\begin{matrix} \vec{r}=\vec{r}(a,b,c,t)\\ \rho=\rho (a,b,c,t) \\ p=p (a,b,c,t) \\T=T(a,b,c,t) \end{matrix}\right.$

流体质点速度

$\left\{\begin{matrix} v_{x}=\frac{\partial x(a,b,c,t)}{\partial t}\\ v_{y}=\frac{\partial y(a,b,c,t)}{\partial t} \\ v_{z}=\frac{\partial z(a,b,c,t)}{\partial t} \end{matrix}\right.$

流体质点加速度

$\left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}x(a,b,c,t)}{\partial t^{2}}\\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}y(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \\ a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}z(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \end{matrix}\right.$

欧拉法

欧拉法的出发点不是流体的质点，而是空间中的点。欧拉法是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各空间点的各质点的物理量变化情况便能够了解整个或者部分流畅的运动情况，又称为空间点法或者流场法。

由欧拉法可知，各物理量是空间点x,y,z,t的函数。所以速度、密度、压强和温度可以表示为：

$\left\{\begin{matrix} \vec{v}=\vec{v}(x,y,z,t)\\ \rho=\rho (x,y,z,t) \\ p=p (x,y,z,t) \\T=T(x,y,z,t) \end{matrix}\right.$

加速度

$\left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial v_{x} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z} \\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial v_{y} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{y}}{\partial z} \\a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial v_{z} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{z}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{matrix}\right.$

右端左侧第一项称为时变加速度，表示某空间定点处流体质点速度变化率；

右端的后三项称为位变加速度，表示由于流体质点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。

拉格朗日法和欧拉法的比较

**拉格朗日法和欧拉法的比较**
拉格朗日法	欧拉法
分别描述有限质点的轨迹	同时描述所有质点的瞬时参数
表达式复杂	表达式简单
不能直接反应参数的空间分布	直接反应参数的空间分布
不适合描述流体微元的运动变形特征	适合描述流体微元的运动变形特征
拉格朗日观点是重要的	流体力学最常用的解析方法

（四）连续性方程

连续性方程是质量守恒定量在流体力学中的具体表达式。

三维流动连续性方程

假定流体连续的充满整个流场，从中任意选择一小块流体微元六面体，控制体的边长为dx，dy，dz。

设流体微元中心处的流速分量为 $v_{x},v_{y},v_{z}$ ,液体的密度为 $\rho$ 。那么通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为：

$v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx$

通过后表面中心点N的质点在x方向上的分速度为：

$v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx$

单位时间内沿着x轴方向流入控制体的质量为：

$[\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz$

单位时间内沿着x轴方向流出控制体的质量为：

$[\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz$

单位时间内在x轴方向流出和流出控制体的质量差为

$[\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz-[\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz=\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz$

同理在单位时间内沿y，z方向流出与流入的控制体的质量差为：

$\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz,\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz$

根据连续介质假设，并根据质量守恒原理可知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应该等于六面体在单位时间内质量的减少量。

$\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz=[\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}]dxdydz=-\frac{\partial\rho }{\partial t}dxdydz$

整理得： $\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}+\frac{\partial\rho }{\partial t}=0$