【數據結構】圖論基礎

待完善。。。

目錄

 

圖的遍歷

最小代價生成樹（無向圖）

最短路徑（有向圖）

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• 圖的遍歷

  • DFS圖的深度優先搜索遍歷
    • 基本思想：
      • 1⃣️首先訪問出發點v，並將其標記爲訪問過
      • 2⃣️然後選取與v鄰接的沒有訪問過的任意一個頂點w，並訪問它
      • 3⃣️再選取與w鄰接的沒訪問過的頂點訪問，重複上述動作，直到所有頂點被訪問過。
    • PS：
      • 需要一個visit[]數組，用來作爲頂點的訪問標記

         

  • BFS圖的廣度優先搜索遍歷
    • 基本思想：
      • 1⃣️首先訪問起始頂點v
      • 2⃣️然後選取與v鄰接的全部頂點w1 w2 ... wn 進行訪問
      • 3⃣️再依次訪問與w1 w2 ... wn鄰接的全部頂點，重複動作，直到所有頂點被訪問過。
    • PS：
      • 需要一個隊列，用來存放頂點的全部未被訪問過的鄰接頂點p = p -> nextarc;(鄰接表)
      • 隊列爲空的時候跳出循環

         

• 最小代價生成樹（無向圖）

  • 普里姆算法Prim
    • 算法思想
      • 1⃣️任意取出一個頂點，把它當成一棵樹，
      • 2⃣️然後從與這棵樹鄰接的邊中挑一條最短的邊，並將這條邊所連接的頂點加入這棵樹
      • 3⃣️然後再找一條與這棵樹鄰接的一條最短的邊，重複上述動作，直至所有頂點加入樹中
    • 算法執行過程中的關鍵理解點
      • 兩個數組，vset[]和lowcost[]，vset[i]]=1表示頂點i已經加入樹中。lowcost[i]保存當前生成樹到頂點i的最短一條邊的權值
    • 複雜度分析
      • n^2
      • 適用於稠密圖。無向圖。
  • 克魯斯卡爾Kruskal
    • 算法思想
      • 1⃣️用每次找出候選邊權值最小的邊，併入生成樹中
      • 2⃣️重複上述動作，直至所有邊都檢測完畢。
    • 算法執行過程中的關鍵理解點
      • 圖中所有邊按照權值大小排序sort（）
      • 🌟從最小的邊開始掃描，檢測是否爲候選邊（該邊加入不會形成迴路），是，併入。
      • 關於迴路問題【並查集】，一棵或者幾顆樹，找媽媽（root節點）媽媽一樣就是一家子（一個集合）。
    • 複雜度分析
      • 取決於排序算法的複雜度。規模由圖的邊數e決定
      • 適用於稀疏圖。無向圖。

• 最短路徑（有向圖）

  • 迪傑斯特拉算法Dijkstra
    • 求圖中某頂點到其餘頂點的最短路徑
    • 算法思想
      • 設兩個集合S，T。S存放已經找到的最短路徑的頂點，T存放剩餘頂點。
      • 找v0到集合T中的所有頂點路徑最短的點Vu加入S中。
      • 🌟每併入一個頂點，都要更新v0到T集合中剩餘頂點的最短路徑長度。
      • 不斷重複上述動作，直至所有節點併入S中。
    • 執行過程
      • 引入3個數組，dist[]，path[]和set[]數組。
      • dist[]：當前已經找到的v0:奧vi的最短路徑的長度。初態：有邊就是邊的權值，無邊dist[vi] = ∞
      • Path[]：保存從v0到vi最短路徑的前一個頂點。初態爲：v0到vi有邊，path[vi] = v0，否則path[vi] = -1 。本體就是-1。path保存的是一棵樹，一顆雙親存儲結構存儲的樹。藉助棧，可以直接輸出葉子到根路徑上的節點。
      • Set[]：標記數組，set[vi] = 0 表示vi在T中，未併入S。初態：set[vo] = 1，其餘全爲0 。
    • 複雜度
      • n^2
  • 弗洛伊德算法Floyd
    • 求任意一對頂點間的最短路徑
    • 算法思想
    • 執行過程
    • 複雜度
      • n^3

  mindmap

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