小波分析的背景及理論基礎

背景及理論基礎

小波分析是一種在Fourier分析基礎之後發展起來的，利用了Fourier分析的思想。這裏先介紹一下關於小波分析的詳細的背景。

1.Fourier變換及其改進

首先，這個up主講的很好。Fourier變換
（關於這個變換是啥，學過高數都應該知道。不行，可以百度Fourier變換。）
這是一種全新的思想，在當時的科學界激起了很大的波動，它首創性地爲人們提供了一個觀察、瞭解時（空）域信號的新視角——頻域分析法，（在時域裏面是y關於x的函數，在頻域裏面，是振幅關於頻率的函數，這個上面那位up主有說，終於有個人給我說清楚了。）即在時（空）域無法觀察到的信號，往往在頻域會變得清晰可辨。信號f(t)的Fourier變換和逆變換分別爲（關於這兩個公式的推導，up主給出了詳細的過程，咋感覺寫的有點像給他在推廣！不過，他說的不錯，確實用心了。）
$\qquad\qquad\qquad F(\omega)=\int_{t\in R}f(t)e^{-i \omega t}dt$
$\qquad\qquad\qquad f(t)={1 \over 2\pi} \int_{\omega \in R}F(\omega)e^{i \omega t}d\omega$
Fourier變換在頻域有很好的定位效果，但是，Fourier變換無法反映出某個頻率分量發生在時域的哪個時刻，即Fourier變換無任何時域定位功能。即Fourier變換可以確切地告訴人們某個信號是否包含特定的頻率分量，卻無法說明該頻率分量究竟發生在哪個時間段，它只適合處理平穩信號，不適合非平穩信號。
由於還需要把時間信息考慮入內，Gabor在1946年提出了Gabor變換，進而又發展爲短時Fourier變換(STFT)（或加窗Fourier變換）。
關於STFT,有一個Heisenberg測不準原理，在時頻分析中，要想取得高的時間分辨率，就必須犧牲頻率分辨率，反之亦然。當窗口函數選擇爲Gaussian函數時，是比較合理的。並且，還有一個問題，就是這個窗口大小是固定的，一旦確定不能按需改變，往往效果不理想。還有一個缺陷是無論如何離散化其變換核$g(t)e^{i\omega t}$,都無法得到一組正交基。由於以上三個原因，進而引出小波變換。

2.小波框架理論

2.1 框架的泛函理論基礎

（下面這段話主體摘自小波變換與圖像處理這本書，中國科學技術大學出版社，倪林編著
部分內容是我本人的理解）（部分符號我的打法可能不符合標準符號，LaTex不怎麼熟練，不好意思。）（關於希爾伯特空間，即Hilbert空間，單射，看我的上一篇文章。）
假設{$x_m$}$_{m∈N}$爲 Hilbert空間H上的一個序列,N爲可數指標集.對任意x∈H,我們希望可以將其分解爲由{$x_k$}$_{k∈N}$序列表示的形式.因此,定義分析算子
$\qquad\qquad T:H→L^2(N),(Tx)(m)=<x,x_m>$
T爲 Hilbert空間H到空間$L^2(N)$的映射.$L^2(N)$是有限能量函數空間.爲了重構H空間中的x,T須是單射。（這裏只要單射就好了，像集在原像裏面可以找到就好，找到了一定是單一的，但可能找不到。）
爲了保證重構過程的穩定性,我們希望分析算子爲連續、有界的情形。（這裏我不懂原因）因此,我們定義如下Bessel序列:
如果存在B<+∞,使得對於所有的x∈H,有
$\qquad\qquad \sum_{m \in N}|<x,x_m>|^2\leq B||x||^2$
稱$x_m$構成的序列{$x_m$}$_{m\in N}$爲Bessel序列.爲了保證x∈H能被準確重構,我們要求 Hilbert空間中的{$x_m$}$_{m\in N}$爲 Bessel序列,這樣也就保證了T爲投影到$L^2(N)$空間的有界算子.在此基礎上,我們定義重構算子
$\qquad$T*$:L^2(N)→H$,T*$(\{c_m\}_{m \in N})=\sum_{m \in N}c_mx_m$
其中,$\{c_m\}_{m \in N}$爲$L^2(N)$空間中的一個向量.重構算子T*爲$L^2(N)$空間到 Hilbert空間的映射。
重構算子T*和分析算子T互爲對偶算子,在此基礎上我們定義框架算子
$\qquad$S=T* T:H→H,$\quad Sx=\sum_{m \in N}<x,x_m>x_m$
易知,S爲 Hilbert空間H中的一個映射。

2.2 框架的定義

假設{$x_m$}$_{m∈N}$爲 Hilbert空間H上的一個序列,N爲可數指標集.如果存在常數0<A<B<+∞,使得
$\qquad\qquad A||x||^2\leq \sum_{m \in N}|<x,x_m>|^2\leq B||x||^2$
那麼稱{$x_m$}$_{m∈N}$爲H的一個框架，A,B分別是框架{$x_m$}$_{m∈N}$的下界、上界（一般約定爲下確界和上確界）。框架邊界是刻畫框架的重要參數，直接影響着框架算法的收斂性。當A==B時，稱框架
{$x_m$}$_{m∈N}$爲緊框架。在信號重構過程中，只有當A=B，即爲緊框架時，纔有很好的收斂性。

3.小波框架

小波框架，在某些場合又稱爲小波基，它是在小波變換的基礎上發展而來的一種特殊的框架，一般爲無限維框架。根據框架理論，小波框架看成是由一個母函數經過平移和膨脹作用（即伸縮和平移作用）後得到的一系列函數。膨脹算子使小波能夠根據信號的不同特性，在不同尺度下，對信號進行分解。獲得良好的信號局部時頻特性，這也正是與Gabor框架相比，小波框架表達信號的優勢之一。另一優勢是它具有位移不變性。